收敛性常用一阶微分方程

零

方程：x˙(t)=−cx1n(t)\dot{x}(t)=-c x^{\frac{1}{n}}(t)x˙(t)=−cxn1(t)，其中n是大于等于2的整数，c大于0
解：x(t)={(x1−1n(0)−11−1nct)11−1nif t⩽1−1ncx1−1n(0)0otherwise x{(t)}=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{1-\frac{1}{n}}(0)-\frac{1}{1-\frac{1}{n}}c t\right)^{\frac{1}{1-\frac{1}{n}}} & \text { if } t \leqslant \frac{1-\frac{1}{n}}{c} x^{1-\frac{1}{n}}(0) \\ 0 & \text { otherwise }\end{array}\right.x(t)=⎩⎨⎧(x1−n1(0)−1−n11ct)1−n110 if t⩽c1−n1x1−n1(0) otherwise

一

方程：x˙(t)=−cx12(t)\dot{x}(t)=-c x^{\frac{1}{2}}(t)x˙(t)=−cx21(t)，c大于0
解：x(t)={(x12(0)−12ct)2if t⩽2cx12(0)0otherwise x{(t)}=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{\frac{1}{2}}(0)-\frac{1}{2} c t\right)^{2} & \text { if } t \leqslant \frac{2}{c} x^{\frac{1}{2}}(0) \\ 0 & \text { otherwise }\end{array}\right.x(t)={(x21(0)−21ct)20 if t⩽c2x21(0) otherwise

二

方程：x˙(t)=−cx(t)\dot{x}(t)=-c x(t)x˙(t)=−cx(t)，c大于0
解：x(t)=e−ct+ln⁡x(0)x{(t)}=e^{-ct+\ln x(0)}x(t)=e−ct+lnx(0)

三

方程：x˙(t)=−cx2(t)\dot{x}(t)=-c x^{2}(t)x˙(t)=−cx2(t)，c大于0
解：x(t)=x(0)1+cx(0)tx{(t)}=\frac{x(0)}{1+c x(0) t}x(t)=1+cx(0)tx(0)

四

方程：x˙(t)=−cxn(t)\dot{x}(t)=-c x^{n}(t)x˙(t)=−cxn(t)，其中n是大于等于2的整数，c大于0
解：x(t)=1((n−1)ct+1xn−1(0))n−1x{(t)}=\frac{1}{((n-1)ct+\frac{1}{x^{n-1}(0)})^{n-1}}x(t)=((n−1)ct+xn−1(0)1)n−11

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