Java编程–RSA算法中的大整数运算

RSA原理浅析

RSA是利用陷门单向函数实现的，其安全基础依赖于大整数的分解问题的难解性

算法过程

为了加深对RSA算法的了解，接下来通过简单的一个例子来分析一下：

eg:根据已知参数：p=3,q=11,M=2p = 3, q = 11, M = 2p=3,q=11,M=2，手工计算公私钥，并对明文进行加密，然后对密文进行解密。

(1)首先计算n=p×q=3×11=33n = p × q = 3 × 11 =33n=p×q=3×11=33

(2)Φ(n)=(p−1)(q−1)=2×10=20Φ(n) = (p - 1)(q - 1) = 2 × 10 = 20Φ(n)=(p−1)(q−1)=2×10=20

(3)选取加密密钥e=3e = 3e=3, 因为有1<e<Φ(n)1< e < Φ(n)1

(4)计算ddd, 使de≡1(mod&ThinSpace;&ThinSpace;Φ(n))de ≡ 1(\mod Φ(n))de≡1(modΦ(n)),容易求解d=7d = 7d=7,ddd是私钥

(5)加密过程：对于明文M=2，c=Memod&ThinSpace;&ThinSpace;n=23mod&ThinSpace;&ThinSpace;33=8M=2， c = M^e\mod n = 23 \mod 33 = 8M=2，c=Memodn=23mod33=8

(6)解密过程 M=cdmod&ThinSpace;&ThinSpace;n=87mod&ThinSpace;&ThinSpace;33=2097152mod&ThinSpace;&ThinSpace;33=2M = c^d \mod n = 87 \mod 33 = 2097152 \mod 33 = 2M=cdmodn=87mod33=2097152mod33=2

不难理解，当p,q非常大时，攻击者想要通过n值分解为p x q将是极其困难的，因此我们要尽可能找到大的素整数。

Java大整数运算

程序示例: 随机选择3个较大的素数x、e、nx、e、 nx、e、n ，计算 xe%nx^e \% nxe%n

//生成指定比特长度的大素数

public static BigInteger genBigPrimer(int length){

Random random = new Random(new Date().getTime());

return BigInteger.probablePrime(length, random);

}

//大素数运算

public static void bigPrimerCalc(int len_X,int len_E, int len_N){

//Get x,e,n

BigInteger big_X = genBigPrimer(len_X);

BigInteger big_E = genBigPrimer(len_E);

BigInteger big_N = genBigPrimer(len_N);

//Calculate x^e%n

BigInteger BigResult = big_X.modPow(big_E, big_N);

System.out.println( big_X+"^" );

System.out.println( big_E+ " mod " );

System.out.println( big_N+ " is " );

System.out.println( BigResult);

}