电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容
目录
1.电容
2.部分电容
3.部分电容特征
3.1所有的电位系数都为正
3.2自有电位系数大于互有电位系数
3.3[α]是对称矩阵
3.4与带电量无关
4.感应系数
4.1自由感应系数都为正、互有感应系数都为负
4.2[β]为对称矩阵
4.3严格对角占优
4.4与带电量无关
5.计算
6.部分电容性质
7.静电屏蔽原理
1.电容
静电场中有两个导体,当两个导体之间加上电压U,一个导体带上正电Q,另一个导体一定是负电Q,且Q/U成正比。那么,将这个比值定义为电容C
C若为定值,就要求导体之间的介质ε不随电场的变化而变化
如果有多个导体,电容的定义?
2.部分电容
有(n+1)个导体构成的静电系统,满足:
系统的电力线从自身导体出发,到自身导体终止,就叫静电独立系统。
如果第n+1个导体的电量是0,那么前n个导体是独立的。(第n+1个导体的电量是受约束)
现如果已知q0,q1,q2,…qk,…qn,求φk
取0号为电位的参考点,φ0=0
(1)假设只有1号导体带电,电荷量为单位电荷,其余导体总电荷为0(其余电荷有电力线进去,有电力线出来,但总的电荷量为0)
记1号导体自身产生的电位是α11
1号导体对2号导体产生的电位是α21
1号导体对k号导体产生的电位是αk1
1号导体对n号导体产生的电位是αn1
(电磁场中的表示法:第一个下标数表示受作用点,第二个下标数表示施加作用点)
(2)对2号导体作上述同样假设
2号导体对1号导体产生的电位是α12
2号导体对自身产生的电位是α22
2号导体对k号导体产生的电位是αk2
2号导体对n号导体产生的电位是αn2
(3)假定介质是线性介质(符合叠加原理)
意义:这些电荷共同存在时,在每一个导体上引起的电位与他们各自单独存在时,在每一个导体上所引起的电位的相加和是相等的
(4)当1号导体带电量为q1
当2号导体带电量为q2
当n号导体带电量为qn时
即
其中,αii称为自有电位系数,αij称为互有电位系数
3.部分电容特征
3.1所有的电位系数都为正
先考虑自由电位系数
当q1>0时,因为2号进入电力线等于出去电力线,所以电力线走向为1-2-0:
因为0号电位为0,所以1号电位>0
当q1<0时,电力线走向为0-2-1
因为0号电位为0,所以1号电位<0
综上,q1和φ1同号,即电位系数始终为正
对于互有电位系数:
q2>0时,1号进入电力线等于出去电力线,电力线走向为2-1-0
此时电力线从1指向0,所以φ1>0
q2<0时,电力线走向为0-1-2
此时电力线从0指向1,所以φ1<0
综上,q2和φ1同号,即电位系数始终为正
3.2自有电位系数大于互有电位系数
计算α11时,电路积分为1-2-0
计算α12时,电路积分为1-0
3.3[α]是对称矩阵
αij=αji
根据电路中的互易定理,激励和源的位置互换后,电路效果不变
3.4与带电量无关
静电系统中,如果填充的是线性介质,电位系数矩阵中的所有元素只取决于这个导体的几何形状、大小、位置等,与带电量无关
4.感应系数
假如知道每一个导体的电位,求qk
那么[β]=[α]-1称为感应系数矩阵
4.1自由感应系数都为正、互有感应系数都为负
自由感应系数:
以0号为参考点,且φ2=φ3=…=φn=0,相当于整个系统分为了两部分,1号和1号以外
那么除1号外,其余电位都和参考点一样,都是0。对于1号来说,q1和φ1同号,即自由感应系数大于0。
互有感应系数:
此时依然是两导体系统:
φ2>0时,另外一个系统<0,即q1<0
φ2<0时,另外一个系统>0,即q1>0
即互有感应系数小于0
4.2[β]为对称矩阵
βij=βji
4.3严格对角占优
根据电荷守恒定律:n个导体以及地面的电荷和为0,所以n-1个导体电荷总和绝对值必定不大于第n个导体的电荷量。
4.4与带电量无关
感应系数仅取决于导体的材料、尺寸、位置、介质,与导体的电荷量无关
5.计算
已知任意两个导体之间的电压,求qk
第一步:
第二步:
第三步:
第四步:
取
取
第五步:
同理可得qk
(相当于把1号导体的电荷量分为了n份,上式反映了1号和0号、2号、……n号导体之间的关系)
6.部分电容性质
(1)C=Q/U反映了两导体之间的关系
将C10、C12、……、C1n称为部分电容
(2)部分电容不仅取决于自身的性质,还受其他导体存在的影响
C10称为自由部分电容
C12、C13、……、C1n称为互有部分电容
(3)所有部分电容大于0
C=-β,β为互有感应系数,且β<0,那么C>0
(4)因为
即
其中
上/下三角元素的个数表示导体系统里部分电容的个数n(n+1)/2
意义:静电场问题转换成电容网络矩阵计算求解。
现求解相对0号导体的电位:
(1)通过静电场的经典方法计算
(2)假如知道导体之间的部分电容,用网络矩阵可以快速求解电位
7.静电屏蔽原理
现有接地导体球壳0,以及两导体1和2
(1)根据电容网络矩阵可知
(2)上式对任意电荷量的q1和q2恒成立
那么取q1=0,即U10=0,可得C12U12=0
如果q2不等于0,那么U12不等于0,而C12U12=0,所以C12=0
(因为电容网络对任意电荷量的q1和q2恒成立,所以即使q1不等于0,C12也为0)
(3)因为C12=C21
所以
即1号导体所带的电荷只取决于1号和0号(大地)之间的电压
2号导体所带的电荷只取决于2号和0号之间的电压,与1、2号之间的电压毫无关系,这就起到了静电屏蔽的作用。(金属球壳的存在,使得1号导体和2号导体没有影响)
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