傅里叶变换到卷积定理

一、物以类聚

如果你是上帝，你将如何管理人类以及世间万物。
当我蒸包子的时候，我会将100克面粉，10克酵母500克水，混合起来，在将猪肉和蔬菜以及各种调料按一定比例混合起来。等我将一个个包子包好后放入蒸屉，这个时候，即使我再心急尝一口我的作品，我也只能等待时间在蒸屉中将他们慢慢聚合。
如果我们把各种材料以及比例，看成频域里发生的事情，那么各种材料和时间作用形成最终的一个个包子，就是食欲，哦不，是时域里发生的事情。

或许上帝也是个和时间做朋友的人
吧。

时空中，我们把钟摆拉长：

如果我们改变时钟的大小、速度、以及表针开始的位置，那么它们将呈现出不同的正弦波形。
上帝掌管着各种原料以及比例的秘方，手握潘多拉之盒，将各种正弦波撒向世间，它们逐渐在时空形成自己的轨迹，和规律。

“上帝有一堆标准的正弦函数，他任意地挑其中的一些出来，能组成宇宙万物。这些正弦函数从最开始就没有变过，我们看到的变化都是组合的变化。”
——傅里叶

二、傅里叶变换

傅里叶变换，就是将一个普通规律（满足一定条件的函数）转换成诸多正弦波的叠加。

其中根据欧拉公式

t时刻，逆时针角频率为2πω画圆所到达的点

而转速为2πω的圆，又可延展为频率为ω的正弦曲线，而上图圆中t时刻逆时针旋转所到达的点，此刻正是正弦函数向前的偏移点。

函数f(x)在t时刻被分离为：偏移为e^i2πt（上图小蓝点所标示某时刻t的位置），振幅为f(t)，频率为ω的，的正弦波分量

对于频率ω，把所有的振幅f(t)，以及位移e^i2πωt考虑进来进行叠加，就构成了函数f(x)在频率ω上的总分量

约定，将钟摆的轨迹改为顺时针（逆时针相反的方向）转动，上式转换为

这就是一开始提到的傅里叶变换公式。其离散形式:

简言之，傅里叶变换就像一个过滤器，提取每一时刻f(x)对频率为ω的正弦波的贡献量，把所有时刻f(x)的过滤值进行叠加，就得到整个函数f(x)在频谱中频率值为w的贡献量F(w)。

基于傅里叶变换，可推导出傅里叶逆变换，将函数从频域空间还原为时域空间函数：

其离散形式

如果我们把频域空间的频率以及贡献值看成是原材料及其比例，那么时域空间的原函数
就是各种材料按不同比例产生的最终成品。而傅里叶变换，正是将一个成品的成分和用量分离出来。
只不过这次，原材料不是面粉和猪肉，而是各种正弦波。
卷积定理
将离散傅里叶变换从一维扩展到二维，可将一幅图像映射到频域空间。

傅里叶逆变换可将频谱图像再次转换为时域图像：

原图像中的噪声，边缘等梯度较高的高频部分，将聚集在频谱图像中相对“灰暗”的区域。可以通过去掉频谱图像的高频部分，再经过傅里叶逆变换转换为时域图像，从而达到抑制噪声的目的。
并且通常人对图像的高频部分不那么敏感，通过去掉高频部分，可以对图像进行压缩而不损害视觉效果。

三、卷积定理

卷积结合傅里叶变换，相互作用，构成了卷积定理
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。
即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。

这样就方便我们对图像进行卷积处理。比如，我们想通过卷积核过滤而使图像模糊。

设：模糊图像=原图像*模糊算子
那么：F(模糊图像)=F(原图像)*F(模糊算子)
所以：F(原图像)=F(模糊图像)/F(模糊算子)
最终：原图像=F^(-1)(F(模糊图像)/F(模糊算子))

这样我们通过傅里叶变换在图像模糊和还原之间来回切换。

参考

【Stardust · 理论物理初阶】篇十二 · 傅里叶变换：将时光凝固成音符

https://zhuanlan.zhihu.com/p/480251944/

【An Interactive Guide To The Fourier Transform】

https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/

【傅里叶变换和逆变换简明推理】

https://zhuanlan.zhihu.com/p/426411907