二分图（二部图）学习笔记（概念与匈牙利算法）

二分图（又称为二部图）定义：
什么是二分图？
二分图是一种图的类型。二分图中顶点集合 V 中包含两种点的集合，不妨设为 Black 和 White，那么 V = Black ∩ White。二分图也满足：任何相同集合中的点不会连边（只有 Black 中的节点才能连接 White 中的节点），且每条边都是无向边。

举个栗子，有黑点和白点各 4 个，那么图1 便是一个二分图：

图1

二分图基本常识：二分图判定
判定一个图是否是一个二分图，可以用二分图染色判定法（染色法 Colour Algorithm）

染色法经典题型

洛谷 P1525 关押罪犯
我们不妨把每个犯人看作一个节点，那么就是将集合 V 拆分成两类点，不妨设为 Black 和 White。那么需保证 Black 中的每个节点的连线和 White 中的每个节点的连线都保证小于等于 ans。我们可以用二分创造答案，用二分图判定卡特算法判断是否成为二分图。

设有一节点 i，maxx为二分的答案，那么可以枚举所有与 i 相邻并且边大于maxx的所有节点 j，若 j 未染色，则把 j 染成不同于 i 的颜色。若 j 已染色，则判断 j 的颜色是否不同于 i，若不是，则染色失败。这个过程可以用bfs来做。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,b,ans;
int x,y,s;
vector<int>v[20005],z[20005];
int c[20005];
bool flag;
bool check(int maxx)//bfs主要过程
{queue<int>q;memset(c,0,sizeof c);for(int k=1;k<=n;k++){if(!c[k])//还未染色{q.push(k);c[k]=1;//默认染成 1while(!q.empty()){int i=q.front();q.pop();for(int j=0;j<v[i].size();j++)//枚举所有超过怨恨值的犯罪 jif(v[i][j]>maxx){if(!c[z[i][j]])//未染色{c[z[i][j]]=c[i]%2+1;//染成不同颜色q.push(z[i][j]);}else{if(c[z[i][j]]==c[i])return 0;//染色失败}}}}}return 1;
}
void search(int l,int r)//二分答案
{if(l>r)return;int mid=(l+r)>>1;if(check(mid)){ans=mid;search(l,mid-1);}else search(mid+1,r);
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y>>s;v[x].push_back(s);z[x].push_back(y);v[y].push_back(s);z[y].push_back(x);b=max(b,s);}search(0,b);cout<<ans;return 0;
}

之后我们来讲讲二分图匹配中的概念：

匹配：每个点只能和能连接的点匹配，一个点最多匹配其他的一个点，将此匹配的子图称为子图 M。
最大匹配：子图 M 中最多的匹配。（如下图）

完美匹配（完备匹配）：子图 M 中包含所有的节点的最大匹配。

这里强调一下，完美匹配一定是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹配。

匈牙利算法

假如现在有黑点和白点各 4 个，那么如何匹配才能使所得的匹配数最多呢？

首先，我们看 W1，它可以和 B1 组成匹配，那么匹配（太直接了吧）。

我们看 W2，它最喜欢的是 B1，但 B1 已经和 W1 匹配了，就强行把它们两个分开了。W1 不服气，去找 B3 匹配了。

W3 也找到了自己的伙伴 B2 匹配。但这时 W4 看见自己唯一的 B2 被匹配了，很伤心。B2 也只好改为跟 W4 匹配。幸运的是，W3 并没有生气，它则是找 B4匹配了。

这便是此二分图的最大匹配，也是完美匹配，更是匈牙利算法的流程。通过流程，我们可以很轻松地编出匈牙利算法主要的核心代码。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,g[105][105],sum;
int W[105];//Bi 的匹配对象
bool u[105];//本轮匹配，Bi是否被匹配
bool dfs(int i)//本轮匹配，Wi 是否能匹配
{for(int j=1;j<=n;j++)if(g[i][j]&&!u[j]){u[j]=1;//本轮匹配已匹配 if(!W[j]||dfs(W[j]))//Bj没有匹配对象，或可以给它的匹配对象重新再找一个匹配对象 {W[j]=i;return 1;}}return 0;
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int w,b;cin>>w>>b;g[w][b]=1; }for(int i=1;i<=n;i++)//一共有 n 轮匹配，每轮匹配匹配 Wi{memset(u,0,sizeof u);//每轮都清空一次 sum+=dfs(i);//匹配 Wi } cout<<"一共能匹配"<<sum<<"对\n\n";for(int i=1;i<=n;i++)if(W[i]){cout<<'W'<<W[i]<<" - "<<'B'<<i<<'\n';}return 0;
}

代码运行如下：