Turbo译码原理说明（一）

Turbo Codes译码是一类具有反馈结构的伪随机译码器，2个码可以交替互不影响的译码，并且还可以通过关于系统码信息位的软判决输出相互传递信息，进行递推式迭代译码。Turbo译码结构如图1所示：

1 迭代译码原理介绍

接收端，接收序列经过串并转化之后，得到3个序列：

系统信息序列 $Y^S=(y_1^S,y_2^S,\cdots ,y_N^S)$
分量编码器1相对应的校验序列 $Y^{1p}=(y_1^{1p},\, y_2^{1p},\cdots ,y_N^{1p})$
分量编码器2相对应的校验序列 $Y^{2p}=(y_1^{2p},\, y_2^{2p},\cdots ,y_N^{2p})$

若进行编码时对校验比特进行了删余，那么在分离 $Y^{1p}$ 和 $Y^{2p}$ 时要对删余的位置以“0”来填充，以此保证 $Y^{1p}$ 和 $Y^{2p}$ 以及 $Y^S$ 有相同的长度。 $Y^{1p}$ 和 $Y^{2p}$ 以及 $Y^S$ 在送入译码器之前要经过信道置信度Lc 的加权，加权后生成的对数似然比信息用 $\Lambda _k(c^{1p};I),\, \Lambda _k(c^{2p};I),\, \Lambda _k(c^{s};I)$ 表示。

分量译码器1的输入包括：

系统信息 $\Lambda _k(c^{s};I)$ ；
校验信息 $\Lambda _k(c^{1p};I)$ ;
先验信息 $\Lambda _{1a}(u_k)$ ，由分量译码器2生成的外部信息 $\Lambda _{2e}(u_k)$ 经过解交织生成的；
$\Lambda _{1a}(u_{I(k)})=\Lambda _{2e}(u_{k})$ ，为 $I(k)$ 映射交织函数。第一次迭代时， $\Lambda _{1a}(u_{k})=\Lambda _{2e}(u_{k})=0$ ；

分量译码1的输出为 $\Lambda _{1k}(u;O)$ ，可得到：

$\Lambda _{1e}(u_k)=\Lambda _{1k}(u;O)-\Lambda _{k}(c^s;I)-\Lambda _{1a}(u_k)$ (1)

由于 $\Lambda _{1e}(u_k)$ 与 $\Lambda _{k}(c^s;I)$ 和 $\Lambda _{1a}(u_k)$ 无关，故可以在交织后作为分量译码器2的先验信息 $\Lambda_{2a}(u_k)$ ,即 $\Lambda_{1e}(u_{I(k)})=\Lambda_{2a}(u_k)$ ;

同样地，分量译码器2的输入包括：

交织后的系统信息 $\Lambda_{I(k)}(c^s;I)$ ；
校验信息 $\Lambda _k(c^{2p};I)$ ;
先验信息 $\Lambda _{2a}(u_k)$ ；

分量译码2的输出为 $\Lambda _{2I(k)}(u;O)$ ，同样也可得到公式（2）如下所示：

$\Lambda_{2e}(u_k) =\Lambda_{2I(k)}(u;O)\, -\, \Lambda_{I(k)}(c^s;I)\, -\, \Lambda_{2a}(u_k)$ (2)

同样地，将译码器2得到的外部信息经过解交织后，可以再作为分量译码器1的先验信息。通过多次的迭代，使得每个码元都可以得到来自序列中几乎所有码元信息，具体是通过迭代中反复交织反馈、去交织来实现的。这实际上就实现了译码的伪随机化。图2所示是流水线式的迭代结构。

2 Turbo译码算法介绍

Turbo码的译码算法主要分为两大类：一类是基于最大后验概率（Maximum A Posteriori，MAP）软输出算法，这类算法由标准MAP算法演化得来。对标准MAP算法取对数得到Log-MAP算法，对Log-MAP算法中的分支度量进行简化，得到MAX-Log-MAP算法。

另一类是基于Viterbi算法的软输出算法，是对卷积码的译码算法Viterbi的改进，使其满足SISO特性，软信息可以在两个分量译码器之间交换。这种改进的Viterbi算法为软输出Viterbi算法（SOVA）。

2.1 MAP算法介绍

MAP算法是SISO算法的代表，对于二元输入，可以用对数似然比（LLR）作为判决函数：

$L (u_k)=log\left ( \frac{p(u_l=1|y)}{p(u_l=0|y)} \right )$ ( 3）

$u_k$ 表示k时刻的编码输入信息比特，y 表示接收机的接收序列。MAP会根据计算出来的 $L (u_k)$ 的值对 $\hat{u_k}$ 进行判决，判决规则为：

$\hat{u_l=\left\{\begin{matrix}1,\; \; L (u_l)\geqslant 0 \\0,\; \; L (u_l)<0 \end{matrix}\right.$ （4）

MAP算法主要是在给定接收序列 y 的情况下，用BCJR算法计算 LLR $L (u_k)$ ，我们将（3）式进一步细化，可将 $L (u_k)$ 写成：

$L(u_{l})=log \frac{\sum_{u^+}^{}P(s_{l-1}=s', s_l=s,y)}{\sum_{u^-}^{}P(s_{l-1}=s', s_l=s, y)}$ （5）

$s_l$ 是时刻 l 的编码器状态，u+ 是状态对（s'，s）的集合，对应事件 $u_l=+1$ 所发生的状态转移， $(s_{l}=s')\rightarrow (s_{l+1}=s)$ ； u- 是状态对（s'，s）的集合，对应事件 $u_l=-1$ 所发生的状态转移；

根据公式（5）可知，算法的关键是计算 $p(s',\: s,\: y)=p(s_l=s',\, s_{l+1}=s,y)$ ，然后在分子和分母中对所有合适的转移求和。以下我们先给出一些引理，方便我们进行计算推导：

首先定义： $\alpha _l(s)\doteq p(s_l\, =\, s,y_1^l)$

$\gamma _l(s',s)\doteq p(s_l=s,y_l \, |\, s_{l-1} \, =\, s' )$

$\beta _l(s') \doteq p(y_{l+1}^L\, | \, s_l=s)$

引理1：前向度量计算

运用贝叶斯（Bayes）准则和全概率准则：

$\alpha _{l}(s)= p(s,y_1^{l})= \sum_{s'}^{} p(s',s,y_1^{l})$

$=\sum_{s'}^{} p(s,y_{l}\, |\, s',y_1^{l-1})p(s'\, ,\, y_1^{l-1})$

$=\sum_{s'}^{} p(s,y_{l}\, |\, s')p(s'\, ,\, y_1^{l-1})$

$=\sum_{s'}^{} \gamma _l(s'\, ,\, s)\alpha _{l-1}(s')$ （6）

引理2：后向度量计算

$\beta _{l-1}(s') \doteq p(y_l^L\, | \, s')=\sum_{s}^{} p(y_l^L,s\, |\, s')$

$=\sum_{s}^{}p(y_{l+1}^L\, | \, s',s,y_l) p(s,y_l\, |\, s')$

$=\sum_{s}^{ } p(y_{l+1}^L\, | \, s) \: p(s,y_l\, |\, s')$

$=\sum_{s}^{ } \beta _l(s)\; \gamma _{l}(s',s)$ （7）

引理3：分支度量计算

$\gamma _l(s',s)=p(s,y_l\, |\, s')=\frac{p(s',s)}{p(s')}\cdot \frac{p(s',s,y_l)}{p(s',s)}$

$=p(s|s')\,\, p(y_l\, |\, s',s)=p(u_l)\cdot p(y_l\, |\, u_l)$

这里对应事件 $(s'\rightarrow s)$ ，如果 s不是从 s' 出发到达的有效状态，则 $p(s\, |\, s')=p(s'\rightarrow s)=0$

从而推出： $\gamma _l(s',s)=0$ ；若 $(s'\rightarrow s)$ 为有效状态，

$\gamma _l(s',s)= p(u_l)P(y_l\, |\, u_l)=\frac{P(u_l)}{2\pi \sigma ^2}\: exp - {\frac{\left \| y_l - u_l \right \|^2} {2\sigma ^2}$ （8）

由以上3个引理，可以最终推导出 $p(s'\,,s,\, y_{l})$

$p(s',s,y)=p(s',s,y_1^{l-1},\, y_l,\, y_{l+1}^L)$

$=p(y_{l+1}^L\, |\, s',s,y_1^{l-1},\, y_l)\cdot p(s',s,y_1^{l-1},\, y_l)$

$=p(y_{l+1}^L\, |\, s',s,y_1^{l-1},\, y_l)\cdot p(s,y_l\, |\, s',y_1^{l-1} )p(s',y_1^{l-1})$

$=p(y_{l+1}^L\, |\, s)p(s,y_l\, |\, s')p(s',y_1^{l-1})$

$=\beta _l(s)\gamma _l(s',s)\alpha _{l-1}(s')$ （9）

至此，MAP算法推导过程完成。算法具体实现步骤可参见：

卷积译码之BCJR算法详细介绍https://blog.csdn.net/snowman898/article/details/123421074?spm=1001.2014.3001.5502

3 举例说明

以下所示的（2,1,1）SRCC码（Systematic Recursive Convolutional Code）作为分量码的PCCC码，SRCC码生成矩阵为，编码器框图如下图所示：

$G(D)=[1\: \: \: \frac{1}{1+D}]$

图3 SRCC码（2,1,1）编码框图

考虑序列输入长度为4,包含一个收尾比特，使用2*2分组（行-列）交织器，产生码率R=1/4的（12,3）PCCC码（注意，收尾比特不算信息比特）。译码网格如图4所示：

图4 SRCC码（2,1,1）译码网格图

假设输入向量 $u=[u_0,\, u_1,\,u_2,\,u_3]$ ，交织后输入分组为 $u'=[u_0',\, u_1',\,u_2',\,u_3']=[u_0,\, u_2,\,u_1,\,u_3]$ ,第一个分量码的校验向量为 $p^{(1)}=[p_0^{(1)},\, p_1^{(1)},\,p_2^{(1)},\,p_3^{(1)}]$ ，第二个分量码的校验向量为 $p^{(2)}=[p_0^{(2)},\, p_1^{(2)},\,p_2^{(2)},\,p_3^{(2)}]$ ；

我们可以把传输的12个比特排列成一个矩阵，如下表1-1所示。其中，输入向量 u 决定了前两行中的校验向量 $p^{(1)}$ ，交织后的输入向量 u' 决定了前两列中的校验向量 $p^{(2)}$ 。假定信道信噪比为Eb/N0=0.25(-6.02dB），对应于接收向量 $r = [r_0^{(0)}\,r_0^{(1)}\,r_0^{(2)} ,\; \; r_1^{(0)}\,r_1^{(1)}\,r_1^{(2)},\; \; r_2^{(0)}\,r_2^{(1)}\,r_2^{(2)}]$ ，接收到的信道L值为：

$L_c\, r_l^{(j)}=4\left ( E_s/N_0 \right )r_l^{(j)}=r_l^{(j)},\; \; \; \; l=0,1,2,3\, \; \: j=0,1,2$ （10）

第一次行译码后的外部L值		第一次列译码后的外部L值		第一次行和列译码后的软输出L值
-0.32	-0.38	-0.88	-0.69	-0.40	-0.07
+0.77	+0.47	+0.23	-0.04	-0.80	+2.03
第二次行译码后的外部L值		第二次列译码后的外部L值		第二次行和列译码后的软输出L值
-0.01	-0.01	-0.98	-0.81	-0.19	+0.18
+0.43	+0.77	+0.07	-0.21	-1.30	+2.16
第一次行译码后的近似外部L值		第一次列译码后的近似外部L值		第一次行和列译码后的近似软输出L值
-0.9	-0.9	-0.8	-0.8	-0.9	-0.7
+1.4	-0.3	+1.1	+0.1	+0.7	+1.4

第二次行译码

后的近似外部L值

第二次列译码

后的近似外部L值

第二次行和列译码

后的近似软输出L值

-0.1

-0.9

-0.7

-0.2

+0.2

+0.6

+0.5

+0.3

-0.5

-0.9

+1.6

p.s.：本案例较长，后续系列文章详细介绍。