怎么证明一个一维函数连续

若想证明一个一维函数 f(x)f(x)f(x) 在 x=ax=ax=a 处连续，必须满足下列三个条件：
（1） f(x)f(x)f(x) 在 x=ax=ax=a 处有值.
（2） lim⁡x→a\lim\limits_{x\rightarrow a}x→alim 存在.
（3） lim⁡x→a=f(a)\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)x→alim=f(a).

第二个条件与第三个条件可以合并。

另外还有一个等价条件：
f(x)f(x)f(x) 在 x=ax=ax=a 处连续，当且仅当对于任意正实数 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，总存在 x∈[a−δ,a+δ]x\in[a-\delta, a+\delta]x∈[a−δ,a+δ]，使得
∣f(x)−f(a)∣<ϵ|f(x)-f(a)|<\epsilon∣f(x)−f(a)∣<ϵ

证明过程中，用到这一个的比较多。

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