1.蚁群算法概要

什么是蚁群算法

蚁群算法是一种用于寻找优化路径的概率算法
蚁群算法模拟蚁群可以在不同的环境中寻找到最优路径
进一步研究表明，蚂蚁在路径上会释放一种称之为信息素的物质，假如一只蚂蚁寻找到食物（较优路径），其在路径上的信息素（概率）就会引导同伴蚂蚁走相同的路径，蚂蚁增多的同时释放更浓的信息素（正反馈机制）。假设信息素引导的路径不是食物（不是较优路径），则这条路径的信息素就只有相对较少的值（与有食物的路径相比较小）。
信息素会随着时间流失而挥发（较差的路径被选择的概率变小）
由以上的描述可知，算法应模拟蚁群，令不同的蚂蚁去寻食（找更短的路径），若寻找到食物（较优路径），通过释放信息素（改变路径被选中的概率），引导其余蚂蚁选择更优的路径。通过不断寻找（在较优路径的基础上不断地迭代寻找更优的路径），最终找到一个比较短的距离（最终的路径）。
在具体实现采用的是TSP问题，蚁群算法还可用于其他问题求解，在此不多做说明。

蚁群算法的数学公式

蚂蚁从i城市到j城市的概率公式

pi,jkp^{k}_{i,j}pi,jk = [τi,j(t)]α[ηi,j(t)]β∑j∈allow(k)[τi,j(t)]α[ηi,j(t)]βj∈allow(k)\frac{[\tau^{}_{i,j}(t)]^{\alpha}[\eta^{}_{i,j}(t)]^{\beta}}{\sum_{j\in allow(k)}[\tau^{}_{i,j}(t)]^{\alpha}[\eta^{}_{i,j}(t)]^{\beta}}{j\in allow(k)}∑j∈allow(k)[τi,j(t)]α[ηi,j(t)]β[τi,j(t)]α[ηi,j(t)]βj∈allow(k)

其中K是第K只蚂蚁，i,j是两座城市之间的边，pi,jkp^{k}_{i,j}pi,jk意为第K只蚂蚁在I城市选择去J城市的可能性，且J城市一定为K蚂蚁从未到达的城市。
[τi,j(t)]α{[\tau^{}_{i,j}(t)]^{\alpha}}[τi,j(t)]α:[τi,j(t)]{[\tau^{}_{i,j}(t)]}[τi,j(t)]为路径上的信息素浓度，α{\alpha}α代表信息素重要程度。
[ηi,j(t)]β{[\eta^{}_{i,j}(t)]^{\beta}}[ηi,j(t)]β:[ηi,j(t)]{[\eta^{}_{i,j}(t)]}[ηi,j(t)]是i到j城市的距离的倒数，β{{\beta}}β代表路径距离重要程度。
allow(k)allow(k)allow(k)是存放当前没有走过城市的集合。
当一个城市不在allow(k)中时，我们将其概率P设置为0。

信息素的释放公式

Δτi,j(t){\Delta\tau^{}_{i,j}(t)}Δτi,j(t) =QLk= \frac{Q}{L^{}_{k}}=LkQ

这里采用蚂蚁每走完一周才释放信息素，具体代码实现时是让所有蚂蚁走完一圈才进行信息素的释放，以避免前面的蚂蚁直接影响到后面的蚂蚁。
Q{Q}Q是一个常量（我设置为1），Lk{L^{}_{k}}Lk为第KKK只蚂蚁经过的路径长度

信息素的挥发公式

τi,j(t)=ρ∗τi,j(t){\tau^{}_{i,j}(t)} = \rho*\tau^{}_{i,j}(t)τi,j(t)=ρ∗τi,j(t)（ρ\rhoρ为设置的挥发系数）

蚁群算法的框架

初始化参数：对初始的信息素浓度进行定义，定义如α之类的常量，设置蚂蚁的个数，以及循环(iter)的次数
进行循环：令蚁群进行觅食，每进行一次迭代，更新信息素，并释放信息素，若本次产生较前次更优的路径，则记录更优解。
得到最终结果，并输出路径

2.TSP描述（旅行商问题)

旅行商问题是给定一组城市，环绕此城市一圈，经过每一个城市，找到路径的最短距离。
此类问题在路径较小时可使用暴力解，但当城市数量较多时（本次采用ATT48的数据，共48个城市，解空间大小为48的阶乘），暴力解及传统的解法无法在较短的时间内计算出路径（普通计算机得连续工作几万年，反正那时谁还记得谁，另一句，几万年是我瞎BB的，就是时间很长就行了，不过也差不多是这个数），这显然不是我们想要的，而贪婪算法能在有限时间内求得一个较好的答案，但仍然离最优解相差甚远（误差值达到13%）。
蚁群算法本质上是一种启发式的优化算法，有分布计算、信息正反馈和启发式搜索的特征，能尽量避开局部最优，达到一个较好的解（根据我的实测，依然不如遗传算法，有时间再写个遗传算法）。

3.JAVA源代码实现

参数设置

参数设置对于蚁群算法的性能有着极其重要的影响，不同的参数设置会导致结果的较大差异，一般情况下将不同常量设置如下可取得较好的结果：
α{\alpha}α（信息素浓度的影响因子）:设置为1；
β{\beta}β（城市间距离的影响因子）:设置为5；
ρ{\rho}ρ（挥发因子）：设置为0.9。

几个重要的函数

通过这几天写各种算法，我深刻体会到将不同的计算包装成不同的函数，可以提高很大的效率，以下介绍几个具体的函数。

init_p(int [][]distance)：对路径开始的信息素浓度进行初始化，初始值我将他设定为路径与每个结点路径和的倒数；
roulette(double [][]p,int current,int []allow,int[][]distance)：轮盘赌算法，用于结点概率的选择；
not_exit(int current,int []allow)：判断当前选择的城市是否存在于ALLOW子集，这一点至关重要；
init(String filename) ：算出距离矩阵，返回二维数组Distance.
这里额外提一下，什么是伪欧式距离，第一次接触这个我也比较懵逼，他对原距离进行了除以根号十的处理，现在才明白这个距离是官方文档(ATT48数据集)定义的距离公式，他综合考虑了以下两点因素，1.地球是圆的（欧式距离计算的是平面距离）2.大数据不方便处理，所以采用了这个公式。
JAVA代码公式体现在这：double rij = Math .sqrt(((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j]) * (y[i] - y[j])) /10.0);

JAVA具体代码

蚁群算法类（main方法所在类）：

package aca;import java.awt.Image;
import java.io.IOException;import javax.xml.parsers.DocumentBuilder;
import javax.xml.stream.events.StartDocument;public class ACA {int ant_num=50;/*蚂蚁数量*/int alpha =1;//α因子int beta = 5;//β因子static double rho =0.9;//信息素挥发因子int Q=1;//常数public double[][] init_p(int [][]distance) {//对信息素概率的初始量进行更新，初始概率为每个点到其余点的路径和分之路径double p[][] = new double[48][48] ;//用于保存信息素概率for(int i=0;i<48;i++) {double sum = for_each_sum(distance, i);//对每个结点进行和的计算for(int j=0;j<48;j++) {p[i][j]=(distance[i][j]*1.0)/sum;}}for(int i=0;i<48;i++) {p[i][i]=0;}return p;}public int[] start(double [][]p,int[][]distance) {int length=0;int []allow = new int[48];//保存走过的距离for(int m=0;m<48;m++) {allow[m]=100;//防止NOT_EXIT失效}int i=0;int temple = (int) (Math.random()*48);allow[i]=temple;i++;int current =temple;while(i<48) {int tmp[]= new int[48];for(int m=0;m<48;m++) {tmp[m]=allow[m];//System.out.println(m);}int next = roulette(p, current, tmp,distance);allow[i]=next;current = next;i++;}return allow;}public int roulette(double [][]p,int current,int []allow,int[][]distance) {//轮盘赌，current为当前城市标号double sum =0;int temple = 0;double a = sum_single_possible(distance, p, current,allow);while(sum<0.3) {temple = (int) (Math.random()*48);if(not_exit(temple, allow)) {//假如该数不在数组里，则令概率增加double n =1.0/distance[current][temple];n = Math.pow(n, beta);double t = p[current][temple];t = Math.pow(t, alpha);sum =sum + n*t*1.0/a;}}return temple;}public double sum_single_possible(int [][]distance,double[][]p,int current,int[]allow) {//根据公式计算概率double sum=0;for(int i=0;i<48;i++) {if(not_exit(i, allow)) {double a =1.0/distance[current][i];a= Math.pow(a,beta);double b =p[current][i];b= Math.pow(b, alpha);sum = sum+a*b;}}return sum;}public boolean not_exit(int current,int []allow) {//判断当前数是否已经存在于走过的路径中boolean flag = true;for(int i=0;i<allow.length;i++) {if(current == allow[i])return false;}return true;}public double for_each_sum(int [][]distance,int i) {//辅助函数，帮助计算每行总值，I表达第I个结点double sum=0;for(int j = 0;j<48;j++){sum = sum + distance[i][j];}return sum;}public int sum_path_length(int [][]distance,int [][]path,int current) {//辅助函数，计算蚂蚁走过路径总值int sum=0;for(int i=0;i<47;i++) {sum = sum + distance[path[current][i]][path[current][i+1]];}sum = sum + distance[path[current][47]][path[current][0]];return sum;}public static void main(String []args) throws IOException {bbtsp a = new bbtsp();int [][]distance = a.init("c://data.txt");ACA b =new ACA();double p[][] =b.init_p(distance);//产生概率int iter = 200;int i=1;int [][]path = new int[50][48];int min = Integer.MAX_VALUE;//保存最佳路径int best_path[]=new int[48];//保存最佳路径while(i<100) {for(int j=0;j<50;j++)//令每个蚂蚁去寻找路径{int[]allow = b.start(p,distance);//产生一个初始路径for(int m=0;m<48;m++) {//将此值保存在路径数组中用于处理path[j][m]=allow[m];}}//释放信息素for(int j=0;j<50;j++) {int current = j;//选中第J条路径int L = b.sum_path_length(distance, path, current);//计算每条路径长度if(L<min) {min = L;//更新最优解for(int k=0;k<48;k++)//保存最短路径{best_path[k]=path[current][k];}}for(int k=0;k<47;k++) {//释放信息素的值p[path[j][k]][path[j][k+1]]=p[path[j][k]][path[j][k+1]]+1.0/L;}p[path[j][47]][path[j][0]]=p[path[j][47]][path[j][0]]+1.0/L;}//挥发信息素for(int j=0;j<48;j++) {for(int k=0;k<48;k++) {p[j][k]=rho*p[j][k];}}i++;}System.out.println("最终路径：");for(int k=0;k<48;k++) {System.out.print(best_path[k]+1+" ");}System.out.print("最小距离：");System.out.println(min);/*int[]allow = b.start(p,distance); for(int i=0;i<48;i++){for(int j=0;j<48;j++) {if(allow[i]>allow[j]) {int temp=allow[i];allow[i]=allow[j];allow[j]=temp;}}}for(int j = 0;j<48;j++){System.out.println(allow[j]);}*/}}

返回距离矩阵的类：

package aca;import java.io.BufferedReader;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;class bbtsp{int [][]distance;//距离矩阵int citynum = 48;public bbtsp(int [][]dis) {this.distance = dis;}public bbtsp() {}public int[][] init(String filename) throws IOException {// 读取数据int[] x;int[] y;String strbuff;BufferedReader data = new BufferedReader(new InputStreamReader(new FileInputStream(filename)));distance= new int[citynum][citynum];x = new int[citynum];y = new int[citynum];for (int i = 0; i < citynum; i++) {// 读取一行数据，数据格式1 6734 1453strbuff = data.readLine();// 字符分割String[] strcol = strbuff.split(" ");x[i] = Integer.valueOf(strcol[1]);// x坐标y[i] = Integer.valueOf(strcol[2]);// y坐标}data.close();// 计算距离矩阵// ，针对具体问题，距离计算方法也不一样，此处用的是att48作为案例，它有48个城市，距离计算方法为伪欧氏距离，最优值为10628for (int i = 0; i < citynum - 1; i++) {distance[i][i] = -1; // 对角线为0for (int j = i + 1; j < citynum; j++) {double rij = Math.sqrt(((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j])* (y[i] - y[j])) /10.0);// 四舍五入，取整int tij = (int) Math.round(rij);if (tij < rij) {distance[i][j] = tij + 1;distance[j][i] = distance[i][j];} else {distance[i][j] = tij;distance[j][i] = distance[i][j];}}}distance[citynum - 1][citynum - 1] = -1;return distance;}}

运行结果及分析

这是我得到的11011的数据：11011
5 48 42 10 24 45 35 4 26 2 29 41 16 22 3 34
14 25 13 23 11 12 15 40 9 1 8 38 31 44 18 7
28 36 6 37 19 27 43 17 30 46 33 20 47 21
32 39
最优解为10628，误差值为0.03%，显然这个误差值是比较大的，但相对于贪婪算法13％的误差，这个值还能接受

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