文章目录

任务详解：
1.相似矩阵
- 定义7
- 定理3
推论
矩阵的对角化
- 定理4
- 定理2
对称矩阵的对角化
- 推论
- 例子
- 解空间
2.二次型以及矩阵的正定性
- 定义8
- 正定的概念：

本课程来自深度之眼，部分截图来自课程视频。
【第一章线性代数】1.7矩阵对角化二次型
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任务详解：

1、掌握相似矩阵，对角化，对角化的条件。对称矩阵一定可以对角化
2、二次型与矩阵的正定性，以及如何判断正定，可逆的又一种判断方法

1.相似矩阵

定义7

设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使
P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B
则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似（对应的B与A也是相似的）。对A进行运算P−1APP^{-1}APP−1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.

定理3

若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式（就是上节课中的∣A−λE∣|A-\lambda E|∣A−λE∣）相同，从而A与B的特征值亦相同。
证明：
从B的特征多项式来看：∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1EP∣=∣P−1(A−λE)P∣|B-\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}EP|=|P^{-1}(A-\lambda E)P|∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1EP∣=∣P−1(A−λE)P∣
=∣P−1∣∣(A−λE)∣∣P∣=∣P−1∣∣P∣∣(A−λE)∣=|P^{-1}||(A-\lambda E)||P|=|P^{-1}||P||(A-\lambda E)|=∣P−1∣∣(A−λE)∣∣P∣=∣P−1∣∣P∣∣(A−λE)∣
=∣P−1P∣∣(A−λE)∣=∣(A−λE)∣=|P^{-1}P||(A-\lambda E)|=|(A-\lambda E)|=∣P−1P∣∣(A−λE)∣=∣(A−λE)∣
所以A与B的特征多项式相同，注意，特征向量不一定一样。

推论

若n阶矩阵A与对角阵
Λ=[λ1λ2⋱λn]\Lambda =\begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots& \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}Λ=⎣⎢⎢⎡λ1λ2⋱λn⎦⎥⎥⎤
相似，则λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn即是A的n个特征值.
因为：Λ\LambdaΛ的特征多项式∣Λ−λE∣|\Lambda-\lambda E|∣Λ−λE∣为：
∣λ1−λλ2−λ⋱λn−λ∣=(λ1−λ)(λ2−λ)...(λn−λ)\begin{vmatrix} \lambda_1-\lambda & & & \\ & \lambda_2 -\lambda& & \\ & & \ddots& \\ & & & \lambda_n-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)∣∣∣∣∣∣∣∣λ1−λλ2−λ⋱λn−λ∣∣∣∣∣∣∣∣=(λ1−λ)(λ2−λ)...(λn−λ)
所以：λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn即是Λ\LambdaΛ的n个特征值.
A又和Λ\LambdaΛ相似，所以λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn也是A的n个特征值.

矩阵的对角化

下面我们要讨论的主要问题是：对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使∣P−1AP=Λ|P^{-1}AP=\Lambda∣P−1AP=Λ为对角阵，这就称为把矩阵A对角化.
假设已经找到可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角阵，我们来讨论P应满足什么关系.
把P用其列向量表示为
P=(p1,p2,…,pn)P=(p_1,p_2,…,p_n)P=(p1,p2,…,pn)
由∣P−1AP=Λ|P^{-1}AP=\Lambda∣P−1AP=Λ(左右两边同时乘上P)得AP=PΛAP=P\LambdaAP=PΛ，即
A(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn)[λ1λ2⋱λn]A(p_1,p_2,…,p_n)=(p_1,p_2,…,p_n)\begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots& \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}A(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn)⎣⎢⎢⎡λ1λ2⋱λn⎦⎥⎥⎤
=(λ1p1,λ2p2,...λnpn)=(\lambda_1p_1,\lambda_2p_2,...\lambda_np_n)=(λ1p1,λ2p2,...λnpn)
于是有：Api=λipi(i=1,2,...,n)Ap_i=\lambda_ip_i(i=1,2,...,n)Api=λipi(i=1,2,...,n)，这个是特征向量的定义里面的公式(Ax=λxAx=\lambda xAx=λx)啊~~

定理4

n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量（可以解出n个(p1,p2,…,pn)(p_1,p_2,…,p_n)(p1,p2,…,pn)）。

定理2

设(λ1,λ2,...λm)(\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_m)(λ1,λ2,...λm)是方阵A的m个特征值，(p1,p2,…,pm)(p_1,p_2,…,p_m)(p1,p2,…,pm)依次是与之对应的特征向量，如果(λ1,λ2,...λm)(\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_m)(λ1,λ2,...λm)各不相等，则(p1,p2,…,pm)(p_1,p_2,…,p_m)(p1,p2,…,pm)线性无关.
推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.
推理证明：n阶矩阵A的n个特征值互不相等，即(λ1,λ2,...λn)(\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n)(λ1,λ2,...λn)各不相等，根据定理2可知，与(λ1,λ2,...λn)(\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n)(λ1,λ2,...λn)对应的特征向量(p1,p2,…,pn)(p_1,p_2,…,p_n)(p1,p2,…,pn)线性无关.，根据定理4，n阶矩阵A与对角阵相似。
上面这几个小节虽然讲了矩阵对角化的判别标准，但是这个标准需要去计算矩阵的n个特征值，很是麻烦，有么有什么方法可以不用计算就判断矩阵是否可以对角化呢？看下一节！

对称矩阵的对角化

对称矩阵一定是可以对角化滴。
定理5：对称阵的特征值为实数
定理6：设λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2是对称阵A的两个特征值，p1,p2p_1,p_2p1,p2,是对应的特征向量.若λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2λ1=λ2，则p1与p2p_1与p_2p1与p2正交.(上面是讲线性无关，这里约束更强)
证明：λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2是对称阵A的两个特征值
因此有：λ1p1=Ap1,λ2p2=Ap2,λ1≠λ2\lambda_1p_1=Ap_1,\lambda_2p_2=Ap_2,\lambda_1\neq\lambda_2λ1p1=Ap1,λ2p2=Ap2,λ1=λ2
因A对称，故λ1p1T=(λ1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA\lambda_1p_1^T=(\lambda_1p_1)^T=(Ap_1)^T=p_1^TA^T=p_1^TAλ1p1T=(λ1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA，这个式子等式两边的右边在乘以p2p_2p2，得：
λ1p1Tp2=p1TAp2\lambda_1p_1^Tp_2=p_1^TAp_2λ1p1Tp2=p1TAp2，把λ2p2=Ap2\lambda_2p_2=Ap_2λ2p2=Ap2代入：
λ1p1Tp2=p1TAp2=p1T(λ2p2)=λ2p1Tp2\lambda_1p_1^Tp_2=p_1^TAp_2=p_1^T(\lambda_2p_2)=\lambda_2p_1^Tp_2λ1p1Tp2=p1TAp2=p1T(λ2p2)=λ2p1Tp2，即
(λ1−λ2)p1Tp2=0(\lambda_1-\lambda_2)p_1^Tp_2=0(λ1−λ2)p1Tp2=0
由于λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2λ1=λ2，故p1Tp2=0p_1^Tp_2=0p1Tp2=0，即p1与p2p_1与p_2p1与p2正交
定理7：设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使P−1AP=PTAP=ΛP^{-1}AP=P^TAP=\LambdaP−1AP=PTAP=Λ，其中Λ\LambdaΛ是以A的n个特征值为对角元的对角阵.
这个定理描述了两个东西，根据A对称，或者说A=ATA=A^{T}A=AT：
1、P−1AP=Λ=PTAPP^{-1}AP=\Lambda=P^TAPP−1AP=Λ=PTAP
2、P还是一个正交阵：PTP=PPT=EP^TP=PP^T=EPTP=PPT=E

推论

设A为n阶对称阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵A-λE的秩R(A-λE)=n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。
证明：按定理7知对称阵A与对角阵Λ=diag(λ1,…,λn)\Lambda=diag(\lambda_1,…,\lambda_n)Λ=diag(λ1,…,λn)相似，从而A-λE与Λ−λE=diag(λ1,…,λn)\Lambda-\lambda E=diag(\lambda_1,…,\lambda_n)Λ−λE=diag(λ1,…,λn)相似.当λ是A的k重特征根时，λ1,…,λn\lambda_1,…,\lambda_nλ1,…,λn这n个特征值中有k个等于λ，有n-k个不等于λ，从而对角阵Λ−λE\Lambda-\lambda EΛ−λE的对角元恰有k个等于0，于是R(Λ−λE)=n−kR(\Lambda-λE)=n-kR(Λ−λE)=n−k而R(A−λE)=R(Λ−λE)R(A-λE)=R(\Lambda-λE)R(A−λE)=R(Λ−λE)，所以R(A−λE)=n−k.R(A-λE)=n-k.R(A−λE)=n−k.证毕
说人话：就是对于n阶对称矩阵A来说，有k重根，就有k个解。

依据定理7及其推论，我们有下述把对称阵A对角化的步骤：
（i）求出A的全部互不相等的特征值λ1,…,λs\lambda_1,…,\lambda_sλ1,…,λs，它们的重数依次为k1,…,ks(k1+…+ks=n)k_1,…,k_s(k1+…+k_s=n)k1,…,ks(k1+…+ks=n).
（ii）对每个k重特征值λ，求方程(A−λiE)x=0(A-λ_iE)x=0(A−λiE)x=0的基础解系，得kik_iki个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单位化，得kik_iki个两两正交的单位特征向量.因k1+…+ks=nk1+…+k_s=nk1+…+ks=n，故总共可得n个两两正交的单位特征向量.
（iii）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，便有P−1AP=PTAP=ΛP^{-1}AP=P^TAP=\LambdaP−1AP=PTAP=Λ注意Λ\LambdaΛ中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应.

例子

设A=[0−11−101110]A=\begin{bmatrix} 0& -1&1 \\ -1 & 0& 1 \\ 1 &1 & 0 \end{bmatrix}A=⎣⎡0−11−101110⎦⎤求一个正交阵P，使P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ
解：由

求得A的特征值为λ1=−2，λ2=λ3=1\lambda_1=-2，\lambda_2=\lambda_3=1λ1=−2，λ2=λ3=1.
对应λ1=−2\lambda_1=-2λ1=−2，解方程（A+2E）x=0，由

对应λ2=λ3=1\lambda_2=\lambda_3=1λ2=λ3=1，解方程（A-E）x=0，由

以上将ξ2,ξ3\xi_2,\xi_3ξ2,ξ3正交化的操作，可以百度施密特规范，ξ2,ξ3\xi_2,\xi_3ξ2,ξ3是线性无关，但不正交，这里是正交化后单位化
至此p1,p2,p3p_1,p_2,p_3p1,p2,p3都求出来了，组合变成P

解空间

对于线性方程Ax=0Ax=0Ax=0来说，有：R(A)+N(A)=nR(A)+N(A)=nR(A)+N(A)=n，其中R(A)为系数矩阵A的秩，N(A)为线性方程解的维度，例如下面这个例子就是一维的解

n为方程的未知数个数。

2.二次型以及矩阵的正定性

在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax2+bxy+cy2=1ax^2+bxy+cy^2=1ax2+bxy+cy2=1
的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换
{x=x′cosθ−y′sinθ,y=x′sinθ−y′cosθ,\left\{\begin{matrix} x=x'cos\theta-y'sin\theta,\\y=x'sin\theta-y'cos\theta, \end{matrix}\right.{x=x′cosθ−y′sinθ,y=x′sinθ−y′cosθ,
把方程化为标准形
mx′2+ny′2=1mx'^2+ny'^2=1mx′2+ny′2=1
也就是：ax2+bxy+cy2=f(x,y)ax^2+bxy+cy^2=f(x,y)ax2+bxy+cy2=f(x,y)
上面是2次方程，下面推广到n个变量x1,x2,…,xnx_1,x_2,…,x_nx1,x2,…,xn的方程：

定义8

含有n个变量x1,x2,…,xnx_1,x_2,…,x_nx1,x2,…,xn的二次齐次函数
f(x1,x2,…,xn)=a11x12i+a22x22+…+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an−1,nxn−1xnf(x_1,x_2,…,x_n)=a_{11}x_1^2i+ a_{22}x_2^2+…+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+…+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_nf(x1,x2,…,xn)=a11x12i+a22x22+…+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an−1,nxn−1xn
称为二次型.
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换

使二次型只含平方项，能使：
f=k1y12+k2y22+...+knyn2f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+...+k_ny_n^2f=k1y12+k2y22+...+knyn2
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）.

说人话：对于f(x1,x2,…,xn)f(x_1,x_2,…,x_n)f(x1,x2,…,xn)找到一个线性变换（就是把x坐标线性变换到y），使得整个函数可以写为：k1y12+k2y22+...+knyn2k_1y_1^2+k_2y_2^2+...+k_ny_n^2k1y12+k2y22+...+knyn2，这个模式不含2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an−1,nxn−1xn2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+…+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an−1,nxn−1xn这种交叉项的。

如果标准形的系数k1,k2,…,knk_1,k_2,…,k_nk1,k2,…,kn只在1，-1，0三个数中取值：
f=y12+…+yp2−yp+12−…−yr2f=y_1^2+…+y_p^2-y_{p+1}^2-…-y_r^2f=y12+…+yp2−yp+12−…−yr2
则称上式为二次型的规范形.
要把标准形变成规范形就是把系数k放入平方中，例如：k1y12=(k1y1)2k_1y_1^2=(\sqrt{k_1}y_1)^2k1y12=(k1y1)2，然后令z=k1y1z=\sqrt{k_1}y_1z=k1y1，则：k1y12=z2k_1y_1^2=z^2k1y12=z2
下面是数学的具体表达

记

则二次型可记作：
f=xTAx(1)f=x^TAx\tag{1}f=xTAx(1)
其中A为对称阵.。
例子：

公式（1）中，如果A是对角矩阵该多棒，一下子就是标准型甚至规范型了

下面就是要把A变成对角矩阵，形成标准形：
由于A是对称阵，有：PTAP=ΛP^TAP=\LambdaPTAP=Λ----》A=(PT)−1ΛP−1A=(P^T)^{-1}\Lambda P^{-1}A=(PT)−1ΛP−1，令P−1=QP^{-1}=QP−1=Q，(PT)−1=(P−1)T=QT(P^T)^{-1}=(P^{-1})^T=Q^T(PT)−1=(P−1)T=QT式子变成QTΛQQ^T\Lambda QQTΛQ，把A=QTΛQA=Q^T\Lambda QA=QTΛQ代入公式（1）
f=xTQTΛQx=(xQ)TΛQxf=x^TQ^T\Lambda Qx=(xQ)^T\Lambda Qxf=xTQTΛQx=(xQ)TΛQx
令Qx=yQx=yQx=y，上式可以写成：f=yTΛyf=y^T\Lambda yf=yTΛy
这个是关于y的标准形

正定的概念：

定义10：设有二次型f(x)=xTAxf(x)=x^TAxf(x)=xTAx，如果对任何x≠0x\neq0x=0，都有f(x)>0f(x)>0f(x)>0（显然f(0)=0f(0)=0f(0)=0），则称f为正定二次型，并称对称阵A是正定的；如果对任何x≠0x\neq0x=0都有f(x)<0f(x)<0f(x)<0，则称f为负定二次型，并称对称阵A是负定的。
定理10：n元二次型f(x)=xTAxf(x)=x^TAxf(x)=xTAx为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正，即它的规范形的n个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于n.
推论：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正
说人话：对于对称矩阵A，f(x)=xTAxf(x)=x^TAxf(x)=xTAx有：

正定	对于任意x≠0有：f(x)>0
负定	对于任意x≠0有：f(x)<0
半正定	对于任意x≠0有：f(x)≥0
半负定	对于任意x≠0有：f(x)≤0

说人话：对称矩阵A是正定的，与A的特征值λi>0\lambda_i>0λi>0等价，可以推出A可逆；
对称矩阵A是半正定的，与A的特征值λi≥0\lambda_i≥0λi≥0等价，A不一定可逆
上面结论在岭回归的时候要用到。。。

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