冯言冯语说DSP（二）序列的z变换

第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
<一> 序列的z变换

第2章的内容比较多，故将其分为两篇来讲。第一篇，主要说序列的z变换。关于z变换，主要说以下几个方面：z变换的定义，z变换的收敛域，z反变换，z变换的性质与定理，利用z变换求解差分方程，s平面到z平面的映射关系。

一、z变换的定义

百度百科中讲，Z变换(Z-transform)是将离散系统的时域数学模型——差分方程转化为较简单的频域数学模型——代数方程，以简化求解过程的一种数学工具。离散信号系统的系统函数（或者、称传递函数）一般均以该系统对单位抽样信号的响应的Z变换表示。由此可见，Z变换在离散系统中的地位与作用，类似于连续系统中的拉氏变换。
Z变换和z反变换的定义式如下：

需要注意的是，z变换公式中只有幂级数收敛时，z变换才有意义，因而必须研究z变换的收敛域；z反变换实际上是求z变换式的幂级数展开的系数，也必须在收敛域内求解。因此，z变换的收敛域极为重要。

二、z变换的收敛域

对于给定序列x(n)，能使X（z）收敛的所有z值的集合称为X（z）的收敛域。注意，对于一个确定的序列x(n)，它的z变换X（z）的表达式及X（z）的收敛域二者共同才能唯一确定这一序列。
不同形式的序列其收敛域是不同的，4种典型序列的z变换的收敛域：
（1）有限长序列。即x(n)只在[n1,n2]有值。其收敛域至少是(0,∞)，也称有限z平面。在n是我特殊选择下，收敛域还可以扩大。应注意，不论什么序列，若n>0时序列有值，则在z=0处不收敛；若n<0时序列有值，则在z=∞处不收敛。
**（2）右边序列。**即n≥n1时，x(n)有值，其余为0.其收敛域为Rx-<|z|<∞。另外，当此序列是因果序列（即n≥0时有值）时，收敛域还将包括|z|=∞
**（3）左边序列。**即n≤n2时，x(n)有值，其余为0. 其收敛域为0<|z|<Rx+。另外，当此序列为反因果序列或非因果序列时，收敛域还将包括|z|=0.
**（4）双边序列。**收敛域是环状区域，即Rx-≤|z|≤Rx+。
总结来说，右边序列的z变换收敛域在模值最大的有限极点所在圆之外，左边序列z变换收敛域在模值最小的有限极点所在圆之内，双边序列z变换收敛域是一个环状区域的内部，内边界取为此序列中n≥0的序列的模值最大的有限极点所在的圆，外边界取为此序列中n<0的序列的模值最小的有限极点所在的圆，均不包括圆周。

三、z反变换

求z反变换主要有三种方法：围线积分法（留数法）、部分分式法、长除法（幂级数法）
1、围线积分法（留数法）：

由于直接计算围线积分比较麻烦，所以一般用留数定理计算围线积分。

对于留数的计算，须分两种情况讨论

应注意，这些极点是和n有关的，求解时，应将n划成不同区域求解。
2、部分分式法
将X(z)展开为部分分式的形式，然后求每一个部分分式的z反变换，再将各个反变换加起来就得到所求的x(n)。由于过程叙述起来较为麻烦，故不进行详述，仅以一个例题进行说明。

3、幂级数展开法（长除法）。
（1）X（z）用有理分式表示的情况下
对于单边序列，可以用长除法直接展开成幂级数的形式。若X（z）的收敛域为|z|>Rx-，则x(n)为右边序列，应将X（z）展成z的负幂级数，为此，X（z）的分子分母应按z的降幂排列；若X（z）的收敛域为|z|<Rx+，则x(n)为左边序列，应将X（z）展成z的正幂级数，为此，X（z）的分子分母应按z的升幂排列。
幂级数法除非求出x(n)很明显外，一般不一定能给出x(n)的显式表达。且幂级数法一般不适于求解双边序列，否则要分成两个单边序列进行求解。
（2）X(z)是有限长序列。展开后，直接观察确定。
（3）X（z）用超越函数表示。查数学手册解决。

四、z变换的性质与定理

**1、线性。**即满足比例性和可加性。相加后z变换的收敛域一般为两个相加序列的收敛域的重叠部分。
2、序列的移位。
（1）双边z变换情况下

序列移位，只是在X（z）上乘了一个因子。对于单边序列或有限长序列，移位后在z=0或z=∞处收敛域可能会有变化。
（2）单边z变换情况下

因果序列右移后的单边z变换与右移后的双边z变换是相同的，而因果序列左移后的单边z变换与左移后的双边z变换是不同的。
3、z域尺度变换（乘以指数序列）性

非零的a是z平面的尺度变换因子或称为压缩扩张因子。若a为非零实数，则表示z平面的缩扩；若a为复数，且|a|=1，则表示z平面上的旋转；若a为一般复数，则表面z平面上既有幅度伸缩，又有角度旋转。
4、序列的线性加权（z域求导数）性

若n有乘方，则多次进行求导，（-z d /dz）本质上是一个算子。
5、序列共轭性
共轭序列z变换是原z变换式对z取共轭、计算结果再取共轭。实序列的z变换的非零复数极点（或零点）一定是以共轭对的形式存在的。
6、序列翻褶性
序列n取相反数，z取倒数，收敛域的两边界也取倒数。
7、初值定理
对于因果序列x(n)，即x(n)=0，n<0，有X（z）在z取到∞的极限值为x(0)
8、终值定理

9、因果序列的累加性

10、序列的卷积和定理（时域卷积和定理）
时域卷积，z变换域相乘。收敛域是两收敛域的重叠部分。
11、序列相乘（z域复卷积定理）
时域相乘，z变换域复卷积。复卷积公式可用留数定理求解，关键在于正确决定围线所在收敛域。

12、帕塞瓦定理

说明序列在时域的能量等于其在频域呃能量
z变换的主要性质和定理汇总：

五、利用z变换求解差分方程

利用z变换求解差分方程是利用z变换的移位性和线性把差分方程转换成代数方程，以便简化求解过程。
下以一例题说明。

六、s平面到z平面的映射关系

S平面的虚轴对应于z平面的单位圆上，S平面的左半平面对应于z平面的单位圆内，S平面的右半平面对应于z平面的单位圆外。S平面的原点s=0对应于z平面单位圆上z=1这一点。