图形学常见概念与算法-常用初等数学公式
目录
- 乘法公式与因式分解
- 比例 (ab\frac{a}{b}ba = cd\frac{c}{d}dc)
- 二次方程 ax^2^ + bx + c = 0
- 对数
- 数列
- 排列组合与二项式定理
- 平面三角
乘法公式与因式分解
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2)
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + … + abn-2+ bn-1)
比例 (ab\frac{a}{b}ba = cd\frac{c}{d}dc)
合比定理a+bb\frac{a + b}{b}ba+b = c+dd\frac{c + d}{d}dc+d
分比定理a−bb\frac{a - b}{b}ba−b = c−dd\frac{c - d}{d}dc−d
合分比定理a+ba−b\frac{a + b}{a - b}a−ba+b = c+dc−d\frac{c + d}{c - d}c−dc+d
二次方程 ax2 + bx + c = 0
根 = −b±b2−4ac2a\frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}2a−b±b2−4ac
韦达定理：x1 + x2 = -ba\frac{b}{a}ab，x1x2 = ca\frac{c}{a}ac
判别式△ = b2 - 4ac
△ > 0，方程有两个不等实根
△ = 0，方程有两个相等实根
△ < 0，方程有两个共轭虚根
对数
换底公式logaM = logbM / logba
loga1 = 0
logaa = 1
数列
等差数列，设a1为首项，an为通项，d为公差，Sn为n项和，则：
an = a1 + (n - 1)d
Sn = a1+an2\frac{a~1~ + a~n~}{2}2a 1 +a n n
设a, b, c成等差数列，则等差中项b = 12\frac{1}{2}21(a + c)
等比数列，设a1为首项，q为公比，an为通项，则：
通项an = a1qn-1
前n项和Sn = a1(1−qn)1−q\frac{a1~(1 - q^n)}{1 - q}1−qa1 (1−qn) = a1−anq1−q\frac{a1~ - an~q}{1 - q}1−qa1 −an q
常用的几种数列的和
1 + 2 + 3 + … + n = 12\frac{1}{2}21n(n - 1)
12 + 22 + 32 + … + n2 = 16\frac{1}{6}61n(n + 1)(2n + 1)
13 + 23 + 33 + … + n3 = [12\frac{1}{2}21n(n + 1)]2
1 * 2 + 2 * 3 + … + n(n+1) = 13\frac{1}{3}31n(n + 1)(n + 2)
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + … + n(n + 1)(n + 2) = 14\frac{1}{4}41n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
排列组合与二项式定理
排列：Pnm = n(n - 1)(n - 2)…[n - (m - 1)]
全排列：Pnn = n(n - 1)…3 * 2 * 1 = n!
组合：Cnm = n(n−1)...(n−m+1)m!\frac{n(n - 1)...(n - m + 1)}{m!}m!n(n−1)...(n−m+1) = n!m!(n−m)!\frac{n!}{m!(n - m)!}m!(n−m)!n!
组合的性质：
Cnm = Cnn-m
Cnm = Cn-1m + Cn-1m-1
二项式定理：
(a + b)n = an + nan-1b + n(n−1)2!\frac{n(n - 1)}{2!}2!n(n−1)an-2b2 + … + n(n−1)...(n−(k−1))k!\frac{n(n - 1)...(n - (k - 1))}{k!}k!n(n−1)...(n−(k−1))an-kbk + … + bn
平面三角
三角函数间的关系：
sinα cscα = 1
cosα secα = 1
tanα cotα = 1
sin2α + cos2α = 1
1 + tan2α = sec2α
1 + cot2α = csc2α
tanα = sinαcosα\frac{sinα}{cosα}cosαsinα
cotα = cosαsinα\frac{cosα}{sinα}sinαcosα
倍角三角函数：
sin2α = 2 sinα cosα
cos2α = cos2α - sin2α = 1 - 2sin2α = 2cos2α - 1
tan2α = 2tanα1−tan2α\frac{2tanα}{1 - tan^2α}1−tan2α2tanα
cot2α = 1−cot2α2cotα\frac{1 - cot^2α}{2cotα}2cotα1−cot2α
sin2α = 1−cos2α2\frac{1 - cos2α}{2}21−cos2α
cos2α = 1+cos2α2\frac{1 + cos2α}{2}21+cos2α
三角函数的和差化积与积化和差公式：
sinα + sinβ = 2sinα+β2\frac{α + β}{2}2α+βcosα−β2\frac{α - β}{2}2α−β
sinα - sinβ = 2cosα+β2\frac{α + β}{2}2α+βsinα−β2\frac{α - β}{2}2α−β
cosα + cosβ = 2cosα+β2\frac{α + β}{2}2α+βcosα−β2\frac{α - β}{2}2α−β
cosα - cosβ = -2sinα+β2\frac{α + β}{2}2α+βsinα−β2\frac{α - β}{2}2α−β
sinα cosβ = 12\frac{1}{2}21[sin(α + β) + sin(α - β)]
cosα cosβ = 12\frac{1}{2}21[cos(α + β) + cos(α - β)]
cosα sinβ = 12\frac{1}{2}21[sin(α + β) - sin(α - β)]
sinα sinβ = 12\frac{1}{2}21[cos(α + β) - cos(α - β)]
正弦定理：
asinA\frac{a}{sinA}sinAa = bsinB\frac{b}{sinB}sinBb = csinC\frac{c}{sinC}sinCc = 2R，R为外接圆半径
余弦定理：
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
b2 = c2 + a2 - 2ca cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
反三角函数的恒等式：
arcsinx + arccosx = π2\frac{π}{2}2π
arctanx + arccotx = π2\frac{π}{2}2π
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