BZOJ 4173 数学数论

题目大意：给定n,mn,m，求φ(n)∗φ(m)∗∑n%k+m%k≥kφ(k) mod 998244353\varphi(n)*\varphi(m)*\sum_{n\%k+m\%k\geq k}\varphi(k)\ mod\ 998244353
n,m≤1015n,m\leq 10^{15}

我是傻逼。。。

n%k+m%k≥kn\%k+m\%k\geq k等价于⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋=1\lfloor\frac{n+m}k\rfloor-\lfloor\frac nk\rfloor-\lfloor\frac mk\rfloor=1
无视掉前面的φ(n)∗φ(m)\varphi(n)*\varphi(m)的话答案就是
∑n%k+m%k≥kφ(k)\sum_{n\%k+m\%k\geq k}\varphi(k)
=∑n+mk=1φ(k)∗⌊n+mk⌋−∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋−∑mk=1φ(k)∗⌊mk⌋=\sum_{k=1}^{n+m}\varphi(k)*\lfloor\frac{n+m}k\rfloor-\sum_{k=1}^n\varphi(k)*\lfloor\frac nk\rfloor-\sum_{k=1}^m\varphi(k)*\lfloor\frac mk\rfloor

那么∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋\sum_{k=1}^n\varphi(k)*\lfloor\frac nk\rfloor又是什么呢？
∑ni=1i=∑ni=1∑k|iφ(k)=∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋\sum_{i=1}^ni=\sum_{i=1}^n\sum_{k|i}\varphi(k)=\sum_{k=1}^n\varphi(k)*\lfloor\frac nk\rfloor

因此答案为φ(n)∗φ(m)∗(∑n+mi=1i−∑ni=1i−∑mi=1i)=φ(n)∗φ(m)∗n∗m\varphi(n)*\varphi(m)*(\sum_{i=1}^{n+m}i-\sum_{i=1}^ni-\sum_{i=1}^mi)=\varphi(n)*\varphi(m)*n*m

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MOD 998244353
using namespace std;
long long n,m;
long long Phi(long long n)
{long long i,re=n;for(i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0){re/=i;re*=i-1;while(n%i==0)n/=i;}if(n!=1) re/=n,re*=n-1;return re;
}
int main()
{cin>>n>>m;cout<<(Phi(n)%MOD)*(Phi(m)%MOD)%MOD*(n%MOD)%MOD*(m%MOD)%MOD<<endl;return 0;
}

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