“FAST”工作抛物面的优化设计

摘要

本文基于FAST的工作原理，通过机理分析、坐标変换、非线性最小二乘优化等方 法，建立了反射面板谟节优化模型・并利用BFGS算法、蒙特卡洛积分算法等算法，对 不同条件下反射光线吸收比率进行了研究。

问题一中，首先基于固定的仰角观测目标S、圆心C和焦点P・利用旋转抛物 面的中心对祢性，选取焦距作为自由度控制变量，构建在极坐标系下开口竖直向上的二 维抛物线方程.得到不同偏转角度下原点到抛物线的距离.进而导出三维下的旋转掀物 面方程。其次，以焦距为决策变量，将口径300米的拋物面作为积分域•将理想抛物面 到原点的距离与基准球面半径差值平方作为被积函数进行积分作为最小化目标函数.建 立了确定理想抛物面的优化模型。最后，使用二分法求得目标函数导函数在定义区间上 的零点.得到理想抛物面焦距的精确值为280.854,误差平方积分的最小偵为10.112o 此时对应理想抛物面的解析式为z= Q + #)2/561.708 300.841,

问题二中，首先利用球坐标下不同轴线方向抛物面的旋转不变性.在原坐标系和问 题一的坐标系之间建立了双向可逆的变换关系.得到了不同方位角下理想抛物面到原点 的距离。其次.以主索节点的工作坐标和促动器的伸缩长度为决策变量:.以积分域覆盖 的主索节点到原点的距离与理想抛物面到原点的距厲之差的平方和为最小化目标函数. 分别考虑下拉索长度固定、相邻节点的距离变化幅度不超过0.07%.促动器的伸缩范围 在±0.6m为约束条件.建立反射面板调节优化模型。最后，使用拉格朗日乗子法和BFGS 算法进行求解.得到误差平方在抛物面口径上的积分的最小值为5.1353X10 9.理想抛 物线的顶点坐标为(-49.392,-36.943,-294.450).调节后反射面300米口径内的主 索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果见文件result.xlsxe

问题三中，首先通过旋转变换.将反肘问题的倾斜入射光线转化为垂直入射光线。 其次.通过求解线性方程组.依次确定出入射光线与三角形面板的相交判定式、交点坐 标、三角形面板的法线向量，并利用光线垂直入射的性质，使用法线向最简化计算得到 出射光线的方向角。再次，通过联立射线方程与馈源舱所在的目标髙度.得出射线方程 的步长和出射光到达目标高度时的坐标.并与馈源鲍的有效区域进行比对.作为入射光 线是否被有效接收的判定式。最后，将300米口径内实际接收区域作为积分域，将入射 光线有效接收判别式作为被枳函数.使用蒙特卡洛算法进行积分，得到有效接收的光源 面积，并计算出调节昉接收比0.811%.调节后接收比1.103%.提升了 36%,调节工作 抛物面的过程使有效光源的光斑可以尽量完整地出现在每个三角形面板内(图】1)。

本文的特色在于将机理分析与非线性最小二乘优化相结合，并灵活釆用二分法、 BFGS算法和蒙特卡洛积分算法进行求解，在大规模、髙维且带有非线性约束的求解中 仍然以接近二阶的速度收敛至最优解.为FAST在不同情况下的调节与设计提供了参考 依据。

关键词：坐标旋转、非线性最小二乘、BFGS算法、蒙特卡洛积分

一、  问题重述

1.1问题背景

中国天眼(FAST)由主动反射面、馈源舱及其他系统组成,其中主动反射面是由主 索网、反射面板、下拉索、促动器及支承结构等构成的可调节球面。主索冋由柔性主索 按短程线三角冋格方式构成，每个主索节点连接一根下端与固定在地表的促动器连接的 下拉索。促动器沿基准球面径向安装，可沿径向伸缩。

主动反射面有两个状态：基准态时反射面为半径约300米、口径为500米的球面： 工作态时反射面为一个300米口径的近似旋转抛物面。馈源館接收中心在与基准球面同 心、半径差为的一个球面上移动。当观测某个方向的目标S时.馈源舱接收中心被移 动到直线SC与焦面的交点P处，调节基准球面上的反射板形成以直线SC为对称轴、 以P为焦点的近似旋转抛物面.从而将来自S的平行电磁波汇聚到有效区域。

1.2问题提出

在反射面板调节约束下，确定一个理想抛物面，调节促动器，使工作拋物面尽量贴 近理想掀物面，以获得反射后的最佳接收效果。建立模型解决以下问题：

•问题一：当待观测天体S位于基准球面正上方，即。=0°,。= 90°时，结合考 虑反射面板调节因素.确定理想拋物面。

•问题二：当待观测天体S位于。=36.765°, 0 = 78.169°时.确定理想抛物面。 建立反射面调节模型，调节相关促动器的伸缩量.使反射面尽量贴近该理想抛 物面O

•问题三：基于问题二方案，计算调节后馈源能接收比，与基准球面接收比作比 较。

二、  问题假设

1. 假设光线在反射面不存在二次反射。
2. 假设不考虑板间间隙给反射带来的影响。
3. 假设电磁波在大气中的传播为直线传播,
4. 假设反射面板不会发生弯曲，始终维持一个平面。
5. 假设电磁波的反射为全反射,不考虑反射时的损耗。
6. 假设主索节点调节后，相邻节点之间的距离会发生微小变化.变化幅度不超过 0.07%。

三、符号说明

四、问题分析

4.1问題一的分析

问题一要求当a 0°, 8 90。时，结合反射面板週节因素，确定理想抛物面。

基于。=汗/2 .且观测目标S、國1心C和焦点P固定.确定所求剖面抛物线的自由度 只有1.注意到旋转抛物面的中心对称性，故所求抛物面是其剖面上的拋物线的复合。 故电利用焦距作最优化控制变量，进而构建在直角坐标系下开口竖直向上的二维抛物线 方程.将其代入极坐标进行变换.可导出旋转抛物面的方程。最后对理想拋物面到原点的 距离与基准球面半径的差偵平方进行积分，并进行最小二乘最优化求解，使得基准球面 与最终确定的抛物面之间的总调节距离的平方和最小，从而求出理想抛物面。

4.2问题二的分析

问题二要求当。=36.795°, 0 = 78.169°时，确定理想抛物面。并建立反射面板调 节模型.调节相关促动器的伸缩最.使反射面尽量贴近该理想抛物面。

注意到球坐标下不同轴线方向的抛物面为各同向性这一性质.本文考虑在原有空冋 坐标系和间题-己建立的坐标系之间建立交互的旋转变换关系，使得问题二中可部分沿 用问题一中所得有关理想抛物面的数学关系.进而可以确定本问的目标函数和决策变量. 然后引入下拉索固定长度、节点之间的伸缩变动率、促动器的伸缩量等约束，再引入相 邻节点的距磯变化福度的约束和促动器伸缩范围的约束，求出相关促动器的伸缩量:优化 解。

4.3问题三的分析

问题三要求基于问题二的反射面调节方案，计算谡节后馈源舱的接收比，并与基准 球面接收比作比较。

本文拟釆用与问题二相同的坐标旋转方法，将入射的光线从斜射变为垂直于水平面 入射。接着.本文拟通过构建以-•決反射面板上三个主索节点坐标为基准的参数方程. 利用参数方程判断入射光与任意一块反射面板的几何关系，从而确定交点坐标。然后， 本文拟利用待定系数法确定反射平面的法向景，从而利用向量方向角的关系确定反射光 的指向。然后.可以利用方程联立求得的反射光与接收平面的交点判断该光线是否被有 效接收。最终,可■将入射光的照射区域作为积分域，是否接收到光线的判别式作为被积 函数进行积分，将积出的结果与照射面积做比值，从而计算出馍源舱的接收比。

五、问题一模型的建立与求解

5.1问题一模型的建立

5.1.1直角坐标系下二维拋物线方程的构建

题目要求给出考瑋反射面板调节因素下的理想抛物面。根据描述.FAST的抛物面 由二維抛物线旋转得来，因此本文首先基于B = tt/2.讨论在二维平面内，拋物线开口 方向竖直向上的拋物线方程，再通过旋转确定三维的旋转抛物面。

本文基于题目附件8给出的空间直角坐标.以C为坐标原点，构建剖面图上的二维 直角坐标系。则水平向右方向为£轴正向，竖直向上为z轴正向。图1为FAST的剖面 示意图.其中抛物线的焦点为点F 由于讨论的是开口方向竖直向上的抛物线.故其焦 点F的坐标为：

(Sz”) = (O, - (B-F))                                                                    (5-1)

根据抛物线的几何性质・设该抛物线的焦距为则焦点与顶点的距离为0.5£厂 则该拋物线顶点。坐标为：

Go, ZQ)= (0, - (R-F) — 0.5乙/)                           (5-2)

由于抛物线焦点与准线的距离为一倍焦距，故可得抛物线准线方程为:

根据拋物线的几何性质，可知抛物线上的任意一点到准线的距离等于该点到焦点的 距离。利用该性质构建抛物线方程：

(Z-Zr)a = x9+ (z-Zp)2                                                               (5-4)

其中.zr= ^R-F)-Lf为点T的z轴坐标，由准线方程(5-3)得出：

zP= 。?一玲为点P的z轴坐标。

接着，将孙和给的值代入式(5-4),可得：

[z+ 0 —F) +Lf]9 = x2+ [z+ (R —F)]2                                                     (5-5)

两边平方项展开后，移项整理可得方程：

以上，得到了二维直角坐标系下,开口竖直向上的拋物线方程。

5.1.2极坐标系下二维抛物线方程的构建

由于需要将计算得到的抛物面与球面进行对比，使得工作抛物面尽量贴近理想抛物 面。因此为方便求解，将上述抛物线方程转换成极坐标形式。

图2：极坐标系下抛物线示意图

如图2,以。点为原点，以原Z轴为极轴，构建极坐标系，有：

(x,z) = (-£wcoew, Z^sinu;)                                                            (5-7)

其中.儿是从原点出发，到抛物线的距离。将式(5-7)代入直角坐标下的抛物线方程并整 理可得：

"豈 _ +        _(R_= 0                                                  (5-8)

为了得到不同偏转角度3与儿的表达式，需要对式(5-8)的方程进行求解。

(1)当3＞皿时，可将式(5-9)看作以乙为未知最的一元二次方程，故有

A = sin2u; + 4^^^+«-F^ >0

此时方程始终有两个不同的根。根据韦达定理：

-L/sins + £/《siny + 2牛 二 侈 + R _ F) 儿=      COS2^

(2)当3 =砰时’可将式(5-9)看作以如为未知量的•元•次方程，故有:

以上，得到了在不同的偏转角度下，二维抛物线上的点到原点的距离厶的表达式， 接浴将此二维拋物线进行旋转即可得到三维的旋转抛物面。

5.1.3理想抛物面与基准球面的相似度计算

将5.1.2节得到的二维拋物线以极轴为中轴线旋转，得到反射面板的旋转抛物面， 该抛物面可使得沿着中轴线平行射入的电磁波可以被反射到焦点P处。为比较这一理想 抛物面与基准球面的相似程度，需要在球坐标系下，以口径为300米的抛物面在基准球 面上的投影所围成的区域为积分域.对理想抛物面到原点的距离与基准球面半径的差值 平方进行积分.即：

Ea【/(糾如)-H]                                                            (5-16)

枳分数值的大小是评价相似程度的准则。其中，R为基准球面半•径：3为抛物面匕 的点与原点的连线和中垂线所形成的空间角的大小：db为曲面微元：4为积分域，可表 示如下：

A：«c,g,z) \z = -y/R2~x2-y\ x2 + j/2$1502}                                                     (5-17)

90

120                         60

图3：极坐标系下FAST剖面及积分区域示贏图

由于抛物面的中轴线是竖直的，所以在球坐标系下可转化为二重积分.故该枳分式 可化简为：

//邛〔六糾切)-R]2dad0                                                            (5-18)

其中.Q为方位角：0为仰伯：rs = Rcos0是在0角给定时.Q角在基准球面上的轨迹 投影出的圆形的半径。根据題冃要求的工作口径，可知。的取值范困满足：

|海仞，9,如)=150                                                              (5-19)

根据几何关系，易知式(5-19)有两个解缶和Bm，有II这两个解的均值为 打/2。为防止对戶指向的岡环垂殳枳分.町设戶的取值范围为%/2).结合上述 分析，对式(5-18)进…步化简得：

2 打0 [/((<;,£/) — 2d/3                                                     (5-20)

以上.得到了球坐标系下•计算理想抛物面和基准球面之冋相似程度的准则“

5.1.4理想抛物面优化模型的建立

由于在现冇约束条件下，可求解出多个不同焦距的理想抛物面，故需要对于理想抛 物面进行成优化的选取。故构建II标函数如下：

结合式(5-6).确定形成皎优理想抛物面的抛物线方程为:

5.2问题一模型的求解

5.2.1算法设计

首先对目标函数(5-20)的数值特性进行定性分析，可知焦距与决定了理想拋物面和 基准球面之间的相似程度，焦距过大・则理想拋物面会整体低于基准球面：焦距过小， 则理想抛物面会整体高于基准球面。易知目标函数的梯度函数在区间内为一个单调连续 函数，且区间两端对应的梯度值异号.即目标函数(5-20)&区间(100 , 400)±是一个存在 极小偵点的凸函数。因此,本文基于该性质设计针对梯度函数零点的二分査找法对极小 值点进行求解。具体求解算法如下： 算法I： ••分査找第厶

1：选定边界值。首先根据题目设定与实际情况，选取100与400作为二分査找区间 的左右端点。

2：取二分査找区间的中点坐标代入公式(5-23)的梯度函数中,计算得到该点所对应 的梯度值：

3：若梯度值远大于0,将二分査找区间的右•端点设置为当前中点.并返回第2行。

4：若梯度債远小于0,将二分査找区间的左端点设置为当前中点，并返回第2行。

5：若梯度值的绝对值小于机器精度epsilon.则中点即为待求解的极小值点.程序结 束.

5.2.2理想抛物面的求解与分析

基于算法1.在MATLAB中编程进行求解.给出求解岀的理想抛物面的剖面视图 (图4左)及理想拋物面与基准球面的径向高度高低差(图4右)：

图4： FAST 2D fit面最优抛物线(左〉、3D最优抛物面役向高度高低差(右)

最终结果求解出理想抛物面的焦距町的精确值为280.854,误差平方在口径上的积

分的最小值为10.112.将％ = 280.854, R = 300.4, F = 0.466R帯入式(5-6)可得剖切 平面上的抛物线方程为：

'=諭赢宀 300.841                                                                   g)

将抛物线绕z轴旋转一周后.可知其旋转抛物面的方程为：

Z = 561'708(Z + y) 2 - 300.841                                                    (5-24)

5.2.3结果检验

基于5.2.2节中的精确结果，对所得理想抛物面的剖面上的径向高度与基准球面半 径的高低差进行检验，可得最优抛物面与基准球面的偏移最：

-150 -100 -50                0         50        100       150

图5：最优抛物面与基准球面的偏移暈

由图5可知，最优抛物面与基准球面的偏移股在(-0.6,+0.4)的范围内。因此此 最优抛物面在实际应用中.促动器顶端上下拉动下拉索的长度范围也较小.结合反射板 调节效率因素，可得本结果合理且较优。

六、问题二模型的建立与求解

6.1问雖二模型的建立

问题二要求基于问题一所建立的模型，求解当0 = 36.795°, 0 = 78.169°时的理想 抛物面，并以工作抛物面尽量贴近理想抛物面为目标.在下拉索固定长度、节点之间的 伸縮变动率、促动器的伸缩量:约束下，优化相关促动器的伸缩員。

为简化计算，本文首先建立在标准坐标系上旋转得到的新坐标系,使得主索节点与 理想抛物面在径向方向的距离差值可沿用问题•中的式(5-15).从而构建本问的目标函 数.然后通过分析促动器底端坐标、基准状态与工作状态的促动器顶端坐标、主索节点 的基准坐标与工作坐标以及促动器伸缩量:等变伝之间的几何关系.构建本问题的约束条 件，得到反射面板调节优化模型。最后，设计BFGS算法进行模型求解。

6.1.1基于坐标系旋转的理想抛物面与反射面板相似度计算

本題中，由于观测天体S的方位对于基准球心C存在与竖直方向的倾角，这给构建 新的理想抛物面带来了一定的困难。但在求解理想抛物面时，对于不同轴线方向的抛物 面来说，其焦距、焦点等性质都是不变的,故将现冇空间坐标系，以基准球面的球心。 为中心、沿基准球面的剖面方向进行旋转，使得问题二中理想抛物面的轴线与旋转后空 间ri角坐标系z轴所在H线重合，此时主索节点与理想抛物面在径向方向的距离差值可 沿用问题一中的式(5-15)。

设第i个主索节点的工作坐标为(z(£),y(i),zG))。将原先的坐标轴绕看z轴沿正方 向旋转角度(正向旋转方向与坐标轴指向满足右手定则，下文同义)，则坐标相对于坐标 系绕z轴反向旋转角度再将此时的坐标轴绕着y轴沿正方向旋转角度tt/2 (3,则坐 标相对于坐标系绕8轴反向旋转0、根据三维坐标中旋转矩阵的定义，可徊旋转坐 标系下，第i个主索节点的工作坐标(砲(。,如％G))为：