【数竞笔记2】—— 常见积分方法

笔者：YY同学Serendipity

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文章目录

一、积分表法（常用）
二、换元法
- 1. 第一换元积分法（右合法）
- 2. 第二换元积分法（左拆法）
- 3. 三角换元法
三、分部积分法
四、有理函数积分法（多项式分式积分法）

一、积分表法（常用）

∫kdx=kx+C\int kdx=kx+C∫kdx=kx+C

∫xndx=xn+1n+1+C\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C∫xndx=n+1xn+1+C

∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C∫x1dx=ln∣x∣+C

∫exdx=ex+C\int e^xdx=e^x+C∫exdx=ex+C

∫axdx=axln⁡a+C\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C∫axdx=lnaax+C

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin xdx=-\cos x+C∫sinxdx=−cosx+C

∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos xdx=\sin x+C∫cosxdx=sinx+C

∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \sec^2xdx=\tan x+C∫sec2xdx=tanx+C

∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int \csc^2xdx=-\cot x+C∫csc2xdx=−cotx+C

∫tan⁡xsec⁡xdx=sec⁡x+C\int \tan x\sec xdx=\sec x+C∫tanxsecxdx=secx+C

∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C∫cscxcotxdx=−cscx+C

∫tan⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x∣+C\int \tan xdx=\ln|\sec x|+C∫tanxdx=ln∣secx∣+C

∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot xdx=\ln|\sin x|+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C

∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C

∫csc⁡xdx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C\int \csc xdx=-\ln|\csc x+\cot x|+C∫cscxdx=−ln∣cscx+cotx∣+C

∫sec⁡3xdx=12(sec⁡xtan⁡x+ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣)+C\int \sec^3xdx=\frac{1}{2}(\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|)+C∫sec3xdx=21(secxtanx+ln∣secx+tanx∣)+C

∫1a2−x2dx=arcsin⁡(xa)+C\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin(\frac{x}{a})+C∫a2−x21dx=arcsin(ax)+C

∫1a2+x2dx=1aarctan⁡(xa)+C\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C∫a2+x21dx=a1arctan(ax)+C

∫1xx2−a2dx=1aarcsec∣xa∣+C\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx=\frac{1}{a}arcsec|\frac{x}{a}|+C∫xx2−a21dx=a1arcsec∣ax∣+C

二、换元法

1. 第一换元积分法（右合法）

将积分左边的子式凑成积分变量右侧所需的变元，从而改变积分变量，例如
∫tan⁡xdx=∫sin⁡xdxcos⁡x=∫1cos⁡xd(−cos⁡x)\int \tan xdx=\int \frac{\sin xdx}{\cos x}=\int \frac{1}{\cos x}d(-\cos x)∫tanxdx=∫cosxsinxdx=∫cosx1d(−cosx)

2. 第二换元积分法（左拆法）

将积分变量直接换元，然后将新变元拆到左侧，例如
∫d(ex)=∫exdx\int d(e^x)=\int e^xdx∫d(ex)=∫exdx

3. 三角换元法

将积分变量变换为三角函数形式，例如
∫1+x2dx\int \sqrt{1+x^2}dx∫1+x2dx
用 x=tan⁡θx=\tan θx=tanθ 替换，0<θ<π20<θ<\frac{\pi}{2}0<θ<2π，得 dx=sec⁡2θdθdx=\sec^2θdθdx=sec2θdθ
∫1+x2dx=∫sec⁡3θdθ\int \sqrt{1+x^2}dx=\int \sec^3θdθ∫1+x2dx=∫sec3θdθ

三、分部积分法

F(x)F(x)F(x)为f(x)f(x)f(x)的原函数，则有
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−∫F(x)g′(x)dx\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−∫F(x)g′(x)dx
该公式可由乘法求导的链式法则推导出
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
两边积分
∫[f(x)g(x)]′dx=∫f′(x)g(x)dx+∫f(x)g′(x)dx\int [f(x)g(x)]'dx=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx∫[f(x)g(x)]′dx=∫f′(x)g(x)dx+∫f(x)g′(x)dx
移项后有
∫f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx∫f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx

四、有理函数积分法（多项式分式积分法）

将分式拆成分式多项式和的形式，例如：
∫Cx2+Ix+Jx2+x−6dx=∫Mx+Nx2+x−6dx+∫Cdx\int \frac{Cx^2+Ix+J}{x^2+x-6}dx=\int \frac{Mx+N}{x^2+x-6}dx+\int Cdx∫x2+x−6Cx2+Ix+Jdx=∫x2+x−6Mx+Ndx+∫Cdx
=∫Ax+3dx+∫Bx−2dx+∫Cdx=\int \frac{A}{x+3}dx+\int \frac{B}{x-2}dx+\int Cdx=∫x+3Adx+∫x−2Bdx+∫Cdx
然后就可以分别积分求解啦~
但是请注意：使用这种方法的前提条件是函数是有理分式，即分子分母部分必须是含 xxx 的多次多项式。并且最后分母多项式需要能够进行因式分解，例如例子中 x2+x−6=(x+3)(x−2)x^2+x-6=(x+3)(x-2)x2+x−6=(x+3)(x−2)。

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一、积分表法（常用）

二、换元法

1. 第一换元积分法（右合法）

2. 第二换元积分法（左拆法）

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