【一】本文所需前置知识

对斐波那契数列的基本认识；
矩阵乘法；
行列式；
矩阵的特征方程与特征值；
相似对角化（即特征值分解）；

不必要的知识：

线性空间；
线性方程解的结构；

【二】概念

斐波那契数列（Fibonacci数列），是数学家斐波那契以研究兔子繁殖为例研究的数列，故称“兔子数列”，又称为黄金分割数列。甫一提出，它便受到社会的广泛关注。人们很快发现了这个神奇的数列在各个领域均有重要的作用。

斐波那契数列的递推形式：

F[n+2]=F[n+1]+F[n]

【三】线性代数结合斐波那契数列

递推公式可以表示成——
连乘即为——

联想到在线性代数中，对角化的矩阵可以化简矩阵的连乘运算这一性质，开始尝试对角化。
试解特征方程——

        得到特征值λ1＝ $\frac{(1+\sqrt{5})}{2}$ ，λ2= $\frac{(1-\sqrt{5})}{2}$ ；
        特征向量x1= $\begin{bmatrix} \frac{(1+\sqrt{5})}{2}\\ 1 \end{bmatrix} \times c1,c1\epsilon R$ ，x2= $\begin{bmatrix} \frac{(1-\sqrt{5})}{2}\\ 1 \end{bmatrix} \times c2,c2\epsilon R$ ；
        将 $\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 写为 $P\Lambda P^{-1}$ 的形式，即对其特征值分解，可以得到递推式的通式—— $\begin{bmatrix} F_{n}^{}\\ F_{n-1}^{} \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} \frac{(1+\sqrt{5}}{2})^{n}-\frac{(1-\sqrt{5}}{2})^{n}\\ \frac{(1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-\frac{(1-\sqrt{5}}{2})^{n-1} \end{bmatrix}$

接下来回顾以上过程。
对于任意的Fn+2=aFn+1+bFn而言，只要其对应的变换矩阵 $\begin{bmatrix} a &b \\ 1& 0 \end{bmatrix}$
有两个不相等的特征值λ1，λ2（二值可以用a和b线性表示），
就可以充分推出，该变换矩阵可以相似对角化。
重复前述过程，可以得到Fn的递推式：
$F_{n}=(\lambda_{2}^n-\lambda_1^n)/(\lambda2-\lambda1)$ ，此即Fn=αn*F1+βn*F2的解。

从空间的角度，Fn满足线性空间的性质，设其构成空间V。由于V所有的向量都可以被两个向量（通过递推）线性表示，dimV=2（其中一组基为F1和F2）。
现在令Fn=αn*F1+βn*F2，只要求出αn和βn的通项公式，就能得到Fn的通项公式。
根据解的结构，只要利用递推式的前两项，列出线性方程
{α0*F1+β0*F2=F3
{α1*F2+β1*F3=F4
求解它，就可以唯一确定λ1和λ2，得到αn和βn的通项公式。

根据以上思路，还可以推广至任意阶数的线性齐次递推式，得到通解。

本文主要思路均来自《Thirty-three Miniatures,Mathematical and Algorithmic Applications of Linear Algebra》，以下是DOC88的免费阅读链接。原书略有晦涩，但强烈建议读者阅读本书。Thirty-three Miniatures_ Mathematical and Algorithmic Applications of Linear Algebra - 道客巴巴 (doc88.com)https://www.doc88.com/p-1836943573011.html?r=1

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