ULP

百度上的资料非常少，我总结了我查到的相关资料，希望帮助到大家理解。若有解释不当的地方，欢迎指正！

ULP（Unit in the last place）是计算机科学中的一个误差单位。

想要理解什么是ULP就需要了解浮点数的原理，本篇文章不做解释，网上的资料很多，这里贴个链接：

浮点数的表示方法CSDN

下面开始介绍ULP

单个实数值的ULP定义与计算

定义：对于给定的浮点格式，特定实数值的 ulp 是与此实数值左右最近的两个浮点数的距离。

以IEEE754标准的32位浮点数为例。如果想表示实数值 0.1 是无法准确表示的，只能用最接近 0.1 的可以精确表示的浮点数来表示。这样的数有两个，设为A、B，它们的十六进制和十进制表示分别为：

A：
十六进制：0x3dcccccc
十进制：0.099999994039536B：
十六进制：0x3dcccccd
十进制：0.10000000149012

那么 0.1 的 ulp 就等于 |A - B| = 0.00000000745076

如果计算机 1 使用向下近似的方法用 A 来表示 0.1
那么误差 = 0.1 - 0.099999994039536 = 0.000000005960464 = （0.000000005960464 / 0.00000000745076) * ulp ≈ 0.8 ulps

如果计算机 2 使用向上近似的方法用 B 来表示 0.1
那么误差 = 0.10000000149012 - 0.1 = 0.00000000149012 = (0.00000000149012 / 0.00000000745076) * ulp ≈ 0.2 ulps

由上述计算可知，在 IEEE754 标准的 32 位浮点数的前提下，计算机 1 关于 0.1 的计算误差为 0.8 ulps，计算机 2 关于 0.1 的计算误差为 0.2 ulps。

函数中的ulp定义以及计算

注：

这里说的函数指的是计算机程序中的函数，至于其定义能否扩展到数学中的函数我不太清楚。
下文所讨论的函数都是返回值为浮点数的函数，因为整数计算不存在ulp误差。

定义：当讨论一个函数的整体准确性而不是某个特定实数值时，所引用的 ulps 的数量是任何参数下最坏情况的误差。如果某个函数的错误始终小于0.5 ulps，则该函数始终返回最接近精确结果的浮点数，这样的函数是正确舍入的。

逐句解释一下：

第一：“当讨论一个函数的整体准确性而不是某个特定实数值时”

这句很好理解，之前讨论的是单个实数值的 ulp，也就是计算单个数值的误差。但是当我们评判一个函数（方法）的准确性时，就不能用单个数值的 ulp 来代表整个函数的准确性，所以需要对一个函数的 整体准确性 进行定义。

第二：“所引用的 ulps 的数量是任何参数下最坏情况的误差”

首先，如何理解 “ulps 的数量” 。ulps 就是 ulp 的复数形式。上文中提到的计算机 1、2 在计算 0.1 的时候产生的误差分别是 0.8 ulps 和 0.2 ulps。可以看成是 0.8个ulp 和 0.2个ulp。这里的 0.8 和 0.2 就是 ulps 的数量。

理解了ulps 的数量之后，再理解整句话就简单多了。函数都有输入和输出嘛，不同的输入一般对应不同的输出，所以也就对应着不同的误差大小。假设某一个函数在任何输入下产生的输出误差都不会大于 0.5 ulps ，那么这个函数在 “任何参数下最坏情况的误差” 就是 0.5 ulps！这个函数的 “所引用的 ulps 的数量 就是 0.5 ulps！

第三：“如果某个函数的错误始终小于0.5 ulps，则该函数始终返回最接近精确结果的浮点数，这样的函数是正确舍入的。”

理解了上面的内容后，这句话也比较好理解了。对于一个函数，不同的输入会产生不同的误差，如果函数在任何情况下产生的误差总是小于 0.5 ulps。那么说明这个函数总是能够返回最接近精确结果的近似值。这样的函数是正确舍入的。

那什么是错误舍入的函数呢，就是当这个函数有时候的误差小于 0.5 ulps 有时候的误差大于 0.5 ulps。那么这个函数是个不合格的函数，也就是错误舍入的函数。

为什么以 0.5 ulps 为判断函数的标准呢。这个也很好解释。
函数的精确解设为：
resres res
精确解左边的最近的浮点数设为：
res左res_左 res左
精确解右边的最近的浮点数设为：
res右res_右 res右
那么一个好的函数，当然要尽可能使误差最小化：

errormin=min（∣res−res左∣,∣res−res右∣）error_{min} = min（|res - res_左|, |res - res_右|） errormin=min（∣res−res左∣,∣res−res右∣）

由下图

可知，在任何情况下，最小误差都不会大于 0.5 ulps，也就是：
MAX（errormin）=0.5ulpsMAX（error_{min}） = 0.5 ulps MAX（errormin）=0.5ulps

所以以0.5 ulps 作为评判标准。

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ulp(unit in the last place)是什么意思

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