旋转体的体积和表面积

积分公式

令曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)绕xxx轴旋转，形成的旋转体，则其体积和表面积可以计算积分而得（假设体积和表面积一定存在，积分一定存在，这里不讨论数学问题）。
体积公式为：
V=∫πy2dxV={\int}{\pi}{y^2}dxV=∫πy2dx
表面积公式为
S=∫2πy1+y′2dxS=\int{2\pi}{y}\sqrt{1+{y^{\prime}}^2}dxS=∫2πy1+y′2dx
剩下的就是推导定积分公式。
##ZOJ3866 Cylinder Candy##
ZOJ3866，一个圆柱体半径为rrrmm，高度为hhhmm，外围包裹着dddmm厚的涂层，求其表面积和体积。这个题目要精确到10−810^{-8}10−8，推不出积分公式就不用做了。

整个部分最关键的就是四个边角的形状，四个边角合在一起恰好是一个圆环的外半侧。所以关键就是求圆环的外半侧的体积以及表面积。
曲线方程为：
y=r+d2−x2,x∈[−d,d]y=r+\sqrt{d^2-x^2},x\in\left[-d,d\right]y=r+d2−x2,x∈[−d,d]
则，体积积分为：
V=π∫(r2+d2−x2+2rd2−x2)dx=π∫(r2+d2)dx−π∫x2dx+2πr∫d2−x2dxV=\pi\int(r^2+d^2-x^2+2r\sqrt{d^2-x^2}\;)dx\\=\pi\int(r^2+d^2)dx-\pi\int{x^2}dx+2\pi{r}\int\sqrt{d^2-x^2}dxV=π∫(r2+d2−x2+2rd2−x2)dx=π∫(r2+d2)dx−π∫x2dx+2πr∫d2−x2dx
第3项稍微麻烦一点，其不定积分为：
∫d2−x2dx=12xd2−x2+d22arcsinxd+C\int\sqrt{d^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{d^2-x^2}+\frac{d^2}{2}arcsin{\frac{x}{d}}+C∫d2−x2dx=21xd2−x2+2d2arcsindx+C
表面积公式首先要求yyy的导数：
y′=−xd2−x2y\prime=-\frac{x}{\sqrt{d^2-x^2}}y′=−d2−x2x
所以，
1+y′2=d2d2−x21+{y\prime}^2=\frac{d^2}{d^2-x^2}1+y′2=d2−x2d2
表面积的积分为：
S=2π∫(r+d2−x2)dd2−x2dx=2πrd∫1d2−x2dx+2πd∫dxS=2\pi\int({r+\sqrt{d^2-x^2}})\frac{d}{\sqrt{d^2-x^2}}dx\\=2\pi{rd}\int\frac{1}{\sqrt{d^2-x^2}}dx+2\pi{d}\int{dx}S=2π∫(r+d2−x2)d2−x2ddx=2πrd∫d2−x21dx+2πd∫dx
第一项就是arcsinxd+Carcsin\frac{x}{d}+Carcsindx+C。
所以，体积和表面积全部可以求出原函数的解析式。

然后把其他部分的圆柱体算上即可。

#include <cstdio>
#include <cmath>double const PI = acos(-1.0);
double const DELTA = 1E-6;
double R,H,D;double integral(){return (2.0*D*R*R+4.0*D*D*D/3.0+D*D*R*PI) * PI;
}double integral2(){return 4.0*PI*D*D + 2.0*PI*PI*R*D;
}int main(){int nofkase;scanf("%d",&nofkase);while( nofkase-- ){scanf("%lf%lf%lf",&R,&H,&D);double v = integral() + PI * ( R + D ) * ( R + D ) * H;double s = integral2() + 2.0 * PI * ( R + D ) * H + 2.0 * PI * R * R;printf("%.12lf %.12lf\n",v,s);}return 0;
}

##ZOJ3898 Stean##
ZOJ3898同样是旋转体的表面积和体积。曲线为：
y=2+cosxy=2+cosxy=2+cosx
不同点在于定积分公式中有一项是得不到解析式的。但是这道题很明显曲线是周期性函数，定积分的周期就是π\piπ，而题目要求在10−210^{-2}10−2以内，所以取ϵ\epsilonϵ为10−310^{-3}10−3或10−410^{-4}10−4直接使用积分定义去计算。每次计算需要迭代的次数在几万次，应该是没有问题的。
体积积分：
V=π∫(2+cosx)2dx=4π∫dx+4π∫cosxdx+π∫cos2xdxV=\pi\int(2+cosx)^2dx\\=4\pi\int{dx}+4\pi\int{cosx}dx\\+\pi\int{cos^2x}dxV=π∫(2+cosx)2dx=4π∫dx+4π∫cosxdx+π∫cos2xdx
其中第三项为：
∫cos2xdx=x2+sin2x4+C\int{cos^2x}dx=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C∫cos2xdx=2x+4sin2x+C
表面积积分：
S=2π∫(2+cosx)1+sin2xdx=4π∫1+sin2xdx+2π∫1+sin2xdsinxS=2\pi\int(2+cosx)\sqrt{1+sin^2x}\;dx\\=4\pi\int\sqrt{1+sin^2x}\;dx\\+2\pi\int\sqrt{1+sin^2x}\;dsinxS=2π∫(2+cosx)1+sin2xdx=4π∫1+sin2xdx+2π∫1+sin2xdsinx

其中第一项不知道积不积得出来，反正我没有积出来。数学不行，就用计算机的方法算。第二项令t=sinxt=sinxt=sinx，则
∫1+t2dt=12t1+t2+12ln⁡∣t+1+t2∣+C\int\sqrt{1+t^2}\;dt=\frac{1}{2}t\sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2}\ln{\left|{t+\sqrt{1+t^2}}\right|}+C∫1+t2dt=21t1+t2+21ln∣∣t+1+t2∣∣+C

#include <cstdio>
#include <cmath>double const PI = acos(-1.);
double const EPS = 1E-4;//计算一个周期
double init1p(){double ret = 0.0;for(double x=0.0;x<=0.5*PI;x+=EPS){double t = sin(x);ret += sqrt(1.0+t*t);}return 8.0*PI*ret*EPS;
}double const ONEP = init1p();double v(double z1,double z2){return 4.0 * PI * ( z2 - z1 )+ 4.0 * PI * ( sin(z2) - sin(z1) )+ 0.5 * PI * ( z2 - z1 )+ 0.25 * PI * ( sin(z2+z2) - sin(z1+z1) );
}double s(double z1,double z2){//计算底面积double y1 = 2.0 + cos(z1);double ret = PI * y1 * y1;//计算解析式的积分double t2 = sin(z2), t1 = sin(z1);double tt2 = sqrt(1.0+t2*t2), tt1 = sqrt(1.0+t1*t1);ret += PI * ( t2 * tt2 - t1 * tt1 )+ PI * ( log(fabs(t2+tt2)) - log(fabs(t1+tt1)) );//计算周期int n = (int)(( z2 - z1 ) / PI);ret += ONEP * (double)n;//计算积分double tmp = 0.0;for(double x=z1+PI*(double)n;x<=z2;x+=EPS){double t = sin(x);tmp += sqrt(1.0+t*t);}return ret += tmp * 4.0 * PI * EPS;
}int main(){int kase;scanf("%d",&kase);while(kase--){double z1,z2;scanf("%lf%lf",&z1,&z2);printf("%.5lf %.5lf\n",v(z1,z2),s(z1,z2));}return 0;
}

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