题目

题目描述
有 nnn 个计算器，它们构成了一棵树。每个计算器有两个参数 (a,b)(a,b)(a,b)，如果你输入 xxx，计算器就会输出 ax+bax+bax+b 。

现在你需要选一条从根到叶子的链，设它们分别为 u1,u2,…,uku_1,u_2,\dots,u_ku1,u2,…,uk，你会把 111 输入 u1u_1u1，然后把 u1u_1u1 的输出输入 u2u_2u2，以此类推，最后把 uk−1u_{k−1}uk−1 的输出输入 uku_kuk，得到一个输出。

你需要最大化这个输出。注意本题不取模。

保证参数 a,ba,ba,b 都是在给定范围内均匀随机的。但是树不是随机的。

数据范围与提示
对于所有数据，保证 a,ba,ba,b 在 [1,9][1,9][1,9] 内均匀随机，1≤n≤5×1051≤n≤5\times 10^51≤n≤5×105 。

最终答案可能很大。请老老实实输出它。

思路

保证参数 a,ba,ba,b 都是在给定范围内随机的。

好，确认是乱搞题。目前已经得知的乱搞方法如下：

认为 a,ba,ba,b 的位数都与计算器数量同阶。进而，一个点只需要保留它的长链（与稍短一些的链）。
认为深度较大的计算器的 bbb 没啥用。即，深度较大时直接比较 aaa 来判断优劣。
认为 aaa 的最高位很容易不同。所以只保留 aaa 的前几位，再存一个位数即可。

然后题解来了。利用的是第三条。具体一点是，直接用 double\tt doubledouble 进行科学计数法。

找到最优的叶子节点之后，再用分治 +++ FFT\tt FFTFFT（话说 NTT\tt NTTNTT 不是更好吗）求答案。

O(nlog⁡2n)\mathcal O(n\log^2n)O(nlog2n)，瓶颈是最后的计算，考虑压位来节约常数。

后记

说了没有代码就是真的没有，请不要再有更多期待了。

考场上的想法是，利用前两条，长链剖分 搞一下。先递归长儿子，得到一个值，然后看其他的子节点：如果其长链长度过短，就放弃。否则递归，用 O(Llog⁡2L)\mathcal O(L\log^2L)O(Llog2L) 的分治 +++ NTT\tt NTTNTT 算出长链的答案（这个 LLL 既是短链长度，又是长链长度），然后比较答案。

怎么处理深度比较小的计算器呢？考虑将深度不超过 MMM 的全部去除，剩下的就可以合理使用长剖了。它们可以用 O(nM)\mathcal O(nM)O(nM) 暴力乘法得到。然后判断答案。如果一个点的长链长度是 LLL 就会用 O(ML)\mathcal O(ML)O(ML) 暴力乘法，但是 ∑L=n\sum L=n∑L=n 所以不超过 O(nM)\mathcal O(nM)O(nM) 。

反正不影响复杂度，就取 M=log⁡2nM=\log^2 nM=log2n 呗。此时总复杂度
O(nlog⁡2n)\mathcal O(n\log^2 n) O(nlog2n)

可是它的正确性有多高？算法复杂度常数又有多大？没有注意到的细节又有多少？总而言之，在考场上我并没有去这样打。或许我真该放手一搏。或许我应当急流勇退。

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