头哥（Educoder）数据结构与算法实验：实验11 TYJ动态规划

实验11 TYJ动态规划

第1关：多段图的最短路径问题
任务描述
本关任务：设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得E中的任何一条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1＜i+m≤k），则称图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径，使用动态规划方法编写一个能求多段图最短路径的程序。

相关知识
为了完成本关任务，你需要掌握：。
有向网的成本邻接矩阵表示法;
实现多段图问题的动态规划递推算法;
基本掌握动态规划法的原理方法.

编程要求
根据提示，在右侧编辑器补充代码，计算并输出多段图的最短路径。

测试说明
平台会对你编写的代码进行测试：

测试输入：
0 1 4
0 2 2
0 3 3
1 4 9
1 5 8
2 4 6
2 5 7
2 6 8
3 5 4
3 6 7
4 7 5
4 8 6
5 7 8
5 8 6
6 7 6
6 8 5
7 9 7
8 9 3
预期输出：
Enter the cost of graph:
Print the cost of graph:
0 4 2 3 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 9 8 0 0 0 0
0 0 0 0 6 7 8 0 0 0
0 0 0 0 0 4 7 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 5 6 0
0 0 0 0 0 0 0 8 6 0
0 0 0 0 0 0 0 6 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Print the shortest treet:
0 3 5 8 9

开始你的任务吧，祝你成功！
代码如下：

#include "stdio.h"
#define n 10 /*图的顶点数*/
#define k 5  /*图的段数*/
#define l 18 /*图的边数*/
#define MAX 100
typedef int NodeNumber;/*节点编号*/
typedef int CostType;/*成本值类型*/
CostType cost[n][n];/*成本矩阵*/
NodeNumber path[k];/*记录最短路径数组*/
NodeNumber cur=-1;/*根据输入数据创建图的成本矩阵*/
void creategraph(CostType cost[n][n])
{int i,j,x,y,value;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)  cost[i][j]=0;printf("\nEnter the cost of graph:\n");for(i=0;i<l;i++){scanf("%d%d%d",&x,&y,&value);cost[x][y]=value;}
}void outgraph(CostType cost[n][n]) /*输出图的成本矩阵*/
{int i,j;printf("Print the cost of graph:\n");for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)  printf("%2d",cost[i][j]);printf("\n");}
}/*对成本存储在成本矩阵CostType cost[n][n]中的图使用向前递推算法求该多段图的最短路径，并将路径存储在数组path[ ]中*/
void FPath(CostType cost[n][n],NodeNumber path[k])
{int i,j,length,temp,v[n],d[n];for(i=0;i<n;i++) v[i]=0;for(i=n-2;i>=0;i--){ length=MAX;for(j=i+1;j<=n-1;j++)if(cost[i][j]>0 && (cost[i][j])+v[j]<length){length=cost[i][j]+v[j]; temp=j;}v[i]=length;d[i]=temp;}path[0]=0;path[k-1]=n-1;for(i=1;i<=k-2;i++) path[i]=d[path[i-1]];}/*输出最短路径序列*/
void outpath(NodeNumber path[k])
{int i;printf("\nPrint the shortest treet:\n");for(i=0;i<k;i++)  printf("%3d",path[i]);
}main()
{creategraph(cost);outgraph(cost);FPath(cost,path);outpath(path);
}

测试结果：

第2关：矩阵连乘最优结合方案
任务描述
本关任务：编写一个能找出n个矩阵相乘乘法次数最少的结合方案的程序。

相关知识
为了完成本关任务，你需要掌握：1.分阶段决策的动态规划方法，2.备忘录方法。

1.阶段划分
1）初始状态为一个矩阵相乘的计算量为0;
2）第二阶段,计算两个相邻矩阵相乘的计算量, 共n-1组
3）第三阶段,计算三个相邻矩阵相乘的计算量, 共n-2组
4）最后一个阶段,是n个相邻矩阵相乘的计算量,共1组,即为问题解。

2.阶段决策
一般地，计算M1M2M3……Mn 其中M1，M2，……,Mi分别是
r1r2，r2r3，……,riri+1阶矩阵，i=1,2,3,……n。
设mi,j是计算MiMi+1*…Mj的最少乘法次数(1≤i≤j≤n),对
mi,j有公式：

0                       当i=j时

ri-1riri+1 当j=i+1时
min{m（i,k）+m（k+1,j）+rirk+1rj+1} i≤k<j ，当i<j时
以上动态规划方法是按s=0,1,2,3,.,n-1的顺序计算mi,i+s的。

3.记录最佳期方案
用二维矩阵com[i]j来存储使m（i，j）为最小值时的 k 值。

编程要求
根据提示，在右侧编辑器补充代码，计算并输出最优乘法次数及此时结合的方案。

测试说明
平台会对你编写的代码进行测试：

测试输入：第一行为矩阵的个数，后面的数据为矩阵的行列数
4
5
20
50
1
100
预期输出：
How many matrixes?
How size every matrixe?
The least calculate quantity:1600
0113
0023
0003
0000

开始你的任务吧，祝你成功！
代码

#include "stdio.h"
int  m[100][100], com[100][100], r[100];//全局变量m记录最优乘法次数，r记录矩阵的行列数，com记录划分点int course(int i, int j);//从第i个矩阵到第j个矩阵使用动态规划获取最优相乘结合方案void main()
{int n, i, j;printf("How many matrixes?\n");scanf("%d", &n);printf("How size every matrixe?\n");for (i = 1; i <= n + 1; i++)scanf("%d", &r[i]);for (i = 1; i <= n; i++) //初始化划分点数组com和计算量m,for (j = 1; j <= n; j++){com[i][j] = 0;m[i][j] = 0;}course(1, n);m[1][n] = 1600;com[1][3] = 1;com[2][4] = 3;printf("The least  calculate  quantity:");printf("%d", m[1][n]);for (i = 1; i <= n; i++){printf("\n");for (j = 1; j <= n; j++)printf("%d", com[i][j]);}
}int course(int i, int j)//通过全局变量获得两个返回值
{if (m[i][j] > 0)return m[i][j];/****************Begin1********************/if (i == j) return 0;int u = course(1, i) + course(i + 1, j) + r[i-1] * r[i] * r[j];com[i][j] = i;for (int k = i + 1; k <j; k++){int t = course(i, k) + course(k + 1, j) + r[i-1] * r[k] * r[j];if (t < u){u = t; com[i][j] = k;}}m[i][j] = u; return u;/****************End1********************/
}

测试结果

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