计算机加法的电路原理及proteus仿真

最近在休假中，太宅了，也没打算到处去玩。放空脑袋，读读写写，聊以自娱。

我们知道，计算机的功能，都是通过计算来完成的，而这个计算是怎样完成的呢？答案是：电路。

在前面的文章中，我们深入探讨了编码的本质以及计算机的工作原理，重点讲了二进制的表示和加法，并且留了一个“神秘电路”待实现。在本文中，我们主要来聊聊计算机加法的电路原理和proteus仿真，顺便会搞定之前文章提到的“神秘电路”：

上图中，用9v表示高电平，用0v表示低电平。为了方便，后续我们在画电路图时，都默认用5v表示高电平(对应二进制的数字1)，用0v表示低电平(对应二进制的数字0)。

读初二时，在陈老师的物理课堂上，第一次听到了“大到太阳系、银河系，小到分子、原子、电子”。从那一刻起，我知道了电子是很小很小很小的东西。我们每天吃着分子、原子和电子，喝着分子、原子和电子，也拉着分子、原子和电子，而电子在现代计算机中非常重要，所以才叫电子计算机。在本文中，我们不讲分子、原子和电子，也不讲导体为什么能导电，绝缘体为什么难导电，也不细聊欧姆定律。附一图，是为念：

下面，我们用proteus来进行电路仿真。福特、安培、欧姆附体，灯泡亮了。电源电压为5v, 灯泡电阻为20欧，电流为0.25A, 这正是欧姆定律要揭示的内容。

读初三时，卢老师是我们的物理老师，他提到过二极管，并且说二极管具有单向导电性，后来读大学才知道二极管单向导电性的原因：P型N型半导体形成了PN结。

我们无需纠结于PN结原理，还是直接看二极管的单向导电性吧。很显然，单向导电性决定了下图中的灯泡L1亮，灯泡L2不亮：

二极管还有一个特性：二极管两端的电压差相对稳定。我们仿真中用到的二极管，两端的电压差基本在0.7v到0.8v左右，验证如下：

为了方便显示，在后续仿真中，我们用黄颜色的发光二极管，来表示高低电平(即二进制数字1和0)，下图表示11101:

有了对二极管的基本认识，我们一起来看如下有趣的电路。根据二极管的单向导电性和两端相对恒定的电压差，不难分析出电路的特点。动图如下：

其中，D4和D5显示输入电压，D3显示输出电压。亮着表示高电平(5v, 可以表示二进制数字1)，熄灭了表示低电平(0v, 可以表示二进制数字0)。可以看出，只有当D4和D5都亮时，D3才会亮，很显然，这是“与”逻辑，即：

D4	操作	D5	D3
0	与	0	0
0	与	1	0
1	与	0	0
1	与	1	1

这不就是二进制的乘法吗？简单。我们把上述这个电路叫作与门电路，简称与门。

与门逻辑其实就是：爸妈双方都同意你恋爱，你才能恋爱。

继续来看另外一个有趣的电路。根据二极管的单向导电性和两端相对恒定的电压差，也不难分析出电路的特点。动图如下：

可以看到，D4和D5只要有一个亮，D3就亮。很显然，这是“或”逻辑，即：

D4	操作	D5	D3
0	或	0	0
0	或	1	1
1	或	0	1
1	或	1	1

我们把上述这个电路叫作或门电路，简称或门。

注意，看仔细，上面的逻辑不是二进制加法，因为“1或1=1”，而二进制加法中是1+1=10(0左边的1表示进位)。

或门逻辑其实就是：爸妈只要有一方同意你恋爱，你就可以恋爱。

还有一个重要的电路，即非门电路，简称非门。意思是，当输入是高电平时，输出是低电平，而当输入是低电平时，输出是高电平，简直就是跷跷板。即：

输入	操作	输出
0	非	1
1	非	0

我想了很久，也没有想出怎么用二极管来实现这个非门电路。如果有朋友想到了，请不吝赐教。既然暂时实现不了非门逻辑，那就只能请出三极管这个东西了：

我们不对三极管的原理进行详细介绍，但可以粗略近似理解一下：

a. 开关SW1相当于一个水闸开关，控制着三极管Q1，当SW1接高电平时(5v)，水闸打开，三极管通畅无阻，此时D1左边就好像是接地一样(0v)，显然，D1是不会亮的。

b.当开关SW1接低电平时(0v)，三极管Q1堵塞住了，此时可以认为三极管断开了，直接从上图中摘掉三极管，于是乎，D1和灯泡L1形成了串联，自然D1就会亮。

可以看到，D1和D2的值是相反的，正所谓：东方不亮西方亮，西方不亮东方亮。这就是非门逻辑。

到此为止，我们学习了与门、或门、非门电路。但是，如果一直沉浸在这种底层的二极管和三极管中，感觉我们要造的加法器遥遥无期，何时是个头呢？

上面的与门、或门、非门，太繁琐了，二极管三极管都是什么玩意儿！我们需要屏蔽掉这些底层细节和复杂性，怎么办？解决办法是：抽象。在之前文章中，我们讲过，抽象是计算机中重要的思想。嗯，找来一只大象，然后抽它，用力狠狠抽。

直接来看抽象后的与门，即下图中的U1器件(U1下面那个灰色的AND, 就是与的意思)，是不是简化了很多？这就是抽象的威力：

再来看抽象后的或门，即下图中的U1器件(U1下面那个灰色的OR, 就是或的意思)：

再来看抽象后的非门，即下图中的U1器件(U1下面那个灰色的NOT, 就是非的意思)：

天若有情天亦老，人间正道是沧桑。你若耐烦你亦烦，解决正道是抽象。通过抽象，我们脱离了分子、原子和电子这些微观层面的玩意儿，也忘记了福特、安培和欧姆，然后忘记了二极管和三极管，这就对了。我们的思维，要站在更高的维度上，要站在更高的抽象度上。

与门、或门和非门是三种最基本的电路逻辑器件，通过不断组合、集成和抽象，可以形成功能更强大的器件。可以近似地认为，集成电路和芯片，就是功能不断组合、集成而来的，抽象度非常高。

我们来看如下电路图，它由基本的与门、或门和非门组成(先不要管为什么这样设计电路)：

可以看到，当D1和D2都亮或者都熄灭时， D3熄灭; 而当D1和D2有且仅有一个亮时，D3亮。这种逻辑叫异或，这种电路叫异或门电路，简称异或门。来看看异或的具体逻辑：

D1	操作	D2	D3
0	异或	0	0
0	异或	1	1
1	异或	0	1
1	异或	1	0

这不就是二进制的加法吗？但是，貌似少了出进位，我们期待的二进制加法逻辑是：

加数	操作	被加数	出进位	加法结果
0	加	0	0	0
0	加	1	0	1
1	加	0	0	1
1	加	1	1	0

现在终于明白了，不考虑出进位时，二进制加法其实就是异或门逻辑。考虑出进位时，出进位的这一位其实就是与门逻辑。来看下电路，用D4表示出进位，D3表示结果位：

可以看到，上图的逻辑是：

D1	操作	D2	出进位D4	D3
0	加	0	0	0
0	加	1	0	1
1	加	0	0	1
1	加	1	1	0

很显然，这样就实现了二进制的加法。再来对比下我们要实现的“神秘电路”---“半加器”：

这个“神秘电路”---“半加器”，不就我们上个动图中的加法电路吗？终于，我们实现了“半加器”。

半加器已经不再神秘，在后面的叙述中，我们就不再专门加引号了。回头看看上面的半加器电路，感觉有一点点复杂，究其原因是：没有对异或门电路进行抽象，那就来抽象吧。抽象后的半加器如下图所示(U1下面那个灰色的XOR, 就是异或的意思)：

电路简化了很多，抽象的威力，再次可见。

半加器已经搞定，可是，我们还是高兴不起来，因为半加器是半成品，从名字上就可以看出来。为什么呢？你看，上面的半加器只能处理两个二进制数字的相加，如果此时有一个从低位进位而来的二进制数字，那就是三个二进制的数字相加，想一下，是不是？以7+3为例：

这就尴尬了，半加器显然无法满足条件，我们继续优化电路(设计如下电路需要一些数字电路知识，但我们无需了解设计方法)：

这就是二进制全加器，它能算出三个二进制位的和，如下：

加数D1	被加数D2	入进位D3	出进位D4	结果位D5
0	0	0	0	0
0	1	0	0	1
1	0	0	0	1
1	1	0	1	0
0	0	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	1	1	0
1	1	1	1	1

上图的二进制全加器还是有点复杂，我们对它进行抽象，如下图：

这就简单多了。可是，当我进行proteus仿真时， proteus提示没有74LS183这个全加器。好吧，这是proteus本身出现了一些问题，不纠结了。你不提供，我们自己也能造。

上面介绍的二进制全加器，是1位二进制全加器，只能在1个二进制位上进行操作，最大能计算1+1=2，如果我们把两个1位二进制全加器级联起来，就形成了一个2位二进制全加器，最大能计算3+3=6.

在介绍2位二进制全加器之前，我们先来简要了解一下数码管及其显示。在很多公共场合，我们都可以看见数码管的身影。最近出去玩了一下，顺手拍了一张照片，来看看：

数码管中有很多条形灯管，通过控制条形灯管的亮与熄，可以显示不同的数字。数码管的形式有很多，上图的数码管显示数字的范围是0-9. 而我们在本文中要介绍的数码管的显示范围是0-F, 也即十六进制的16个数字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 十进制、二进制和十六进制的对应关系如下表所示：

十进制	二进制(B)	十六进制(H)
0	0	0
1	1	1
2	10	2
4-1	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
8-1	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
16-1	1111	F
16	10000	10
17	10001	11
18	10010	12
19	10011	13
32-1	11111	1F
64-1	111111	3F
128-1	1111111	7F
256-1	11111111	FF
512-1	111111111	1FF
1024-1	1111111111	3FF

很容易看出，四个二进制数位，可以“浓缩”为一个十六进制的数位。顺便地，可以看到，10个二进制数位，表示的数的范围是0-1023，共1024个数字，刚好是2的10次方，对于熟悉二进制的程序员来说，1024才是整数(而不是1000)，所以，10月24日被称为程序员节。

来看下十六进制数码管的显示，0到9大家都认识，A-F长得有点丑，但足够表示数了：

十六进制的好处是：便于人类描述二进制。毕竟，二进制“膨胀”太快了，数位太多，不方便描述，而一个十六进制数位，刚好可以对四个二进制数位进行“浓缩”。

我们常在二进制数字后面加一个B, 用于区分十进制。同理，在十六进制数字后面，我们约定俗成地加一个H, 以便和十进制进行区分。

我们继续来制作2位二进制全加器。把两个1位二进制全加器级联后得到如下动图中的电路：

上面动图实现2位二进制数的加法，最大可以计算3+3=6, 我们来具体看看上面动图完成的计算：

SW2	SW1	SW4	SW3	完成计算
1	0	1	0	2+2=4
1	1	1	0	3+2=5
1	1	1	1	3+3=6

我们的电路图越来越复杂了，得抽象一下了，直接使用封装好了的2位二进制全加器，如下面动图所示：

通过抽象，可以看到，电路图简单多了。抽象后的电路也完成了下表的计算：

SW2(A2)	SW1(A1)	SW4(B2)	SW3(B1)	完成计算
1	0	1	0	2+2=4
1	1	1	0	3+2=5
1	1	1	1	3+3=6

一个2位二进制全加器，最多计算3+3=6，要计算更大值的加法，该怎么办呢？继续级联：把两个2位二进制全加器级联在一起，就形成了一个4位二进制二进制全加器。最大可以计算15+15=30，我们看下9+8=11H=17，如下图所示：

上图这两个2位二进制全加器的级联，还是有点复杂，我们来抽象一下，直接使用封装好的4位二进制全加器，如下图所示：

很显然，也完成了9+8=11H=17的计算。

同理，我们可以用两个4位二进制全加器级联，形成一个8位二进制全加器。也可以用两个8位二进制全加器的级联，形成一个16位二进制全加器，道理都类似，故不再赘述。

到此为主，我们一步一步地用电路实现了加法。貌似大功告成了，但是，还有个疑问：计算机怎么计算1+2+3+4+5呢？这是个连续加法的问题。

我们来尝试用电路图实现，看下图：

计算结果: 1+2+3+4+5=FH=15

这种设计，能正确计算出结果，但是，非常搞笑，也很业余。去市场买这么多器材，然后找老板报销，老板估计要火冒三丈，要揍人的。这里的问题就在于：全加器太多，资源浪费。其实，一个4位二进制全加器貌似就足够了，要懂得循环利用资源，避免浪费。来看看怎么设计：

可是，上图这个电路仍然是没法正常工作的，因为它产生了死循环，在proteus中，强制让上述电路执行，结果proteus报错。

思考一下，问题出在哪里？嗯，缺少了控制开关，于是，我们来进一步尝试，加入控制开关，如下图所示：

然而，令人失望的是，还是会产生死循环，看一下上述动图就知道了：全加器的输出结果立即导入到了输入端。值得说明的是：我在做gif动图时，采用每秒1桢的帧率，所以上图看起来变化得不快。但在实际仿真时，上图的数码管在飞快地变动和闪烁，因为还是出现了死循环。

连续加法器的尝试，还是失败了。所谓巧妇难为无米之炊，连续加法器失败的原因就在于：它需要特殊的器件，而我们现在还没有接触到这种特殊器件，没办法做连续加法器。

别着急，我们将在后续文章中，来实现这个连续加法器，而且是全自动的连续加法器，不需要人为去掰弄任何开关。那时，我们会顺便体会到“编程”的感觉：

我们最后来总结一下本文内容：

首先，通过二极管和三极管，我们实现了与门、或门和非门这三个最基本的电路逻辑器件。

然后，我们不断构造出更复杂的电路逻辑器件，如半加器和全加器，顺便搞定了之前文章提到的“神秘电路”，其实一点也不神秘，很简单的东西。

最后，我们利用全加器的级联，构造了4位二进制全加器，能完成加法运算，达到了本文的目的。

好的，今天先聊到这里。期待全自动的连续加法器，那时，我们会体会到“编程”的感觉。

不见不散。

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