KdV方程的出处： Dr. D. J. Korteweg & Dr. G. de Vries (1895) XLI. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 39:240, 422-443, DOI: 10.1080/14786449508620739

@article{doi:10.1080/14786449508620739,author = { Dr.   D. J.   Korteweg  and  Dr.   G.   de Vries },title = {XLI. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves},journal = {The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science},volume = {39},number = {240},pages = {422-443},year  = {1895},publisher = {Taylor & Francis},doi = {10.1080/14786449508620739},URL = {https://doi.org/10.1080/14786449508620739},eprint = {https://doi.org/10.1080/14786449508620739},
}

∂u∂t+u∂u∂x+∂3u∂x3=0,\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0, ∂t∂u+u∂x∂u+∂x3∂3u=0,

瞬态波形

当固定 ttt 时, ∂u∂t=0\frac{\partial u}{\partial t} = 0∂t∂u=0. 得
u∂u∂x+∂3u∂x3=0,(1)u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0, \tag{1} u∂x∂u+∂x3∂3u=0,(1)
对(1)关于xxx积分，或者
∂∂x(12u2+∂2u∂x2)=0,\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{1}{2}u^2+ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)= 0, ∂x∂(21u2+∂x2∂2u)=0,
得
c+12u2+∂2u∂x2=0,(2)c + \frac{1}{2}u^2+ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, \tag{2} c+21u2+∂x2∂2u=0,(2)
对(2)关于uuu积分，得
c1u+16u3+∫∂2u∂x2du=c2c_1u + \frac{1}{6}u^3+ \int{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} du} = c_2 c1u+61u3+∫∂x2∂2udu=c2c1u+16u3+∫∂2u∂x2∂u∂xdx=c2c_1u + \frac{1}{6}u^3+ \int{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \frac{\partial u}{\partial x}dx} = c_2 c1u+61u3+∫∂x2∂2u∂x∂udx=c2c1u+16u3+∫∂u∂xd∂u∂x=c2c_1u + \frac{1}{6}u^3+ \int{ \frac{\partial u}{\partial x}d\frac{\partial u}{\partial x}} = c_2 c1u+61u3+∫∂x∂ud∂x∂u=c2c1u+16u3+12(∂u∂x)2=c2,(3)c_1u + \frac{1}{6}u^3+ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 = c_2, \tag{3} c1u+61u3+21(∂x∂u)2=c2,(3)

情形一

假设无穷远处，x→∞x\to \inftyx→∞，
u=0,∂u∂x=0,∂2u∂x2=0u=0, \frac{\partial u}{\partial x} = 0, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 u=0,∂x∂u=0,∂x2∂2u=0
由(2)(3)可知：c1=c2=0c_1 = c_2 = 0c1=c2=0. 所以(3)改写为：
∂u∂x=±−13u3=±u−13u\frac{\partial u}{\partial x} = \pm\sqrt{- \frac{1}{3}u^3} = \pm u\sqrt{- \frac{1}{3}u} ∂x∂u=±−31u3=±u−31u

情形二

周期边界条件，blablabla

用傅里叶变换求解偏微分方程

傅里叶变换可以将 PDE 转换成 ODE，即：将 u(x,t)u(x,t)u(x,t) 在空间上做傅里叶展开，关于xxx的微分项全部变成代数乘除，只剩下时间上的微分，所以可以用 ODE 的解法在频域上求解 u^k(t)\hat{u}_k(t)u^k(t).

matlab 仿真

% Solve KdV eq. u_t + uu_x + u_xxx = 0 on [-pi,pi] by
% FFT with integrating factor v = exp(-ik^3t)*u-hat.
% Set up grid and two-solution initial data:
N = 256;
dt = .4/N^2;
x = (2*pi/N)*(-N/2:N/2-1)';
A = 25;
B = 16;
clf, drawnow
u = 3*A^2*sech(.5*(A*(x+2))).^2 + 3*B^2*sech(.5*(B*(x+1))).^2;
v = fft(u);
k = [0:N/2-1 0 -N/2+1:-1]';
ik3 = 1i*k.^3;% Solve PDE and plot results:
tmax = 0.006;
nplt = floor((tmax/25)/dt);
nmax = round(tmax/dt);
udata = u;
tdata = 0;
h = waitbar(0,'please wait...');
for n = 1:nmaxt = n*dt; g = -.5i*dt*k;E = exp(dt*ik3/2); E2 = E.^2;a = g.*fft(real( ifft( v ) ).^2);  % 这里的 abcd 是4阶龙哥库塔积分步骤b = g.*fft(real( ifft(E.*(v+a/2)) ).^2);c = g.*fft(real( ifft(E.*v + b/2) ).^2);d = g.*fft(real( ifft(E2.*v+E.*c) ).^2);v = E2.*v + (E2.*a + 2*E.*(b+c) +d)/6;if mod(n,nplt) == 0u = real(ifft(v)); waitbar(n/nmax)udata = [udata u]; tdata = [tdata t]end
end
waterfall(x,tdata,udata'), color([0 1 0]), view(-20,25)
xlabel x, ylabel t, axis([-pi pi 0 tmax 0 2000]), grid off
set(gca,'ztick',[0 2000]), close(h), pbaspect([1 1 .13])

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