1、线性规划概念

定义：在线性等式和不等式约束下，最小化线性目标函数。

minxcTxs.t.Aubx≤bub,Aeqx=beq,l≤x≤u\underset{x}{min}\ c^{T}x\\ s.t. \ A_{ub}x \le b_{ub},\\ A_{eq}x = b_{eq},\\ l \le x \le u xmin cTxs.t. Aubx≤bub,Aeqx=beq,l≤x≤u
其中 x 是决策变量的向量；c、bub、beq、l、u是向量；和AubA_{ub}Aub、AeqA_{eq}Aeq是矩阵。

2、输入格式

scipy.optimize.linprog(c,A_ub=None,b_ub=None,A_eq=None,b_eq=None,bounds=None,method='interior-point',callback=None,options=None,x0=None)

3、参数设置：

c：线性目标函数的系数
- 数据类型：一维数组
A_ub（可选参数）：不等式约束矩阵，AubA_{ub}Aub的每一行指定xxx上的线性不等式约束的系数
- 数据类型：二维数组
b_ub（可选参数）：不等式约束向量，每个元素代表AubxA_{ub}xAubx的上限
- 数据类型：一维数组
A_eq（可选参数）：等式约束矩阵，AeqA_eqAeq的每一行指定xxx上的线性等式约束的系数
- 数据类型：二维数组
b_eq（可选参数）：等式约束向量，AeqxA_{eq}xAeqx的每个元素必须等于beqb_{eq}beq的对应元素
- 数据类型：一维数组
bounds（可选参数）：定义决策变量xxx的最小值和最大值
- 数据类型： (min, max)序列对
- None：使用None表示没有界限，默认情况下，界限为（0，None）（所有决策变量均为非负数）
- 如果提供一个元组(min, max)，则最小值和最大值将用作所有决策变量的界限。
method（可选参数）：算法，{‘interior-point’, ‘revised simplex’, ‘simplex’}以上三种算法可选
- 数据类型：输入如上三种字符串
callback（可选参数）：调用回调函数，我的理解是等待被调用的参数，如果提供了回调函数，则算法的每次迭代将至少调用一次。回调函数必须接受单个 scipy.optimize.OptimizeResult由以下字段组成：
- x：当前解向量
  - 数据类型：一维数组
- fun：目标函数的当前值（cTxc^TxcTx）
  - 数据类型：浮点数
- success：当算法成功完成时为 True
  - 数据类型：布尔值
- slack：不等式约束的松弛值（名义上为正值）bub−Aubxb_{ub}-A_{ub}xbub−Aubx
- 数据类型：一维数组
- con：等式约束的残差（名义上为零）beq−Aeqxb_{eq}-A_{eq}xbeq−Aeqx
- 数据类型：一维数组
- phase：正在执行算法的阶段
- 数据类型：整数
- status：表示算法退出状态的整数
  - 数据类型：整数
  - 0 : 优化按名义进行
    
    1 : 达到了迭代限制
    
    2 : 问题似乎不可行
    
    3 : 问题似乎是不收敛
    
    4 : 遇到数值困难
- nit：当前的迭代次数
- 数据类型：整数
- message：算法状态的字符串描述符
  - 数据类型：字符串
options（可选参数）：求解器选项字典，所有方法都接受以下选项：
- 数据类型：字典
- maxiter：整数，要执行的最大迭代次数
  
  disp：布尔值，设置为True以打印收敛消息，默认值：False
  
  autoscale：布尔值，设置为True以自动执行平衡，如果约束中的数值分开几个数量级，请考虑使用此选项，默认值：False
  
  presolve：布尔值，设置为False可禁用自动预解析，默认值：True
  
  rr：布尔值，设置为False可禁用自动移除冗余，默认值：True
x0（可选参数）：猜测决策变量的值，将通过优化算法进行优化。当前仅由’ revised simplex’ 方法使用此参数，并且仅当 x0 表示基本可行的解决方案时才可以使用此参数。
- 数据类型：一维数组

4、输出格式：

x：在满足约束的情况下将目标函数最小化的决策变量的值
- 数据类型：一维数组
fun：目标函数的最佳值（cTxc^TxcTx）
- 数据类型：浮点数
slack：不等式约束的松弛值（名义上为正值）bub−Aubxb_{ub}-A_{ub}xbub−Aubx
- 数据类型：一维数组
con：等式约束的残差（名义上为零）beq−Aeqxb_{eq}-A_{eq}xbeq−Aeqx
- 数据类型：一维数组
success：当算法成功找到最佳解决方案时为 True
- 数据类型：布尔值
status：表示算法退出状态的整数
- 数据类型：整数
- 0 : 优化成功终止
  
  1 : 达到了迭代限制
  
  2 : 问题似乎不可行
  
  3 : 问题似乎是不收敛
  
  4 : 遇到数值困难
nit：在所有阶段中执行的迭代总数
- 数据类型：整数
message：算法退出状态的字符串描述符
- 数据类型：字符串

5、例子

import scipy
from scipy import optimize
import numpy
c = numpy.array([2,3]) #最值等式未知数系数矩阵
A_ub = numpy.array([[-1,1],[2,-2]]) #<=不等式左侧未知数系数矩阵
B_ub = numpy.array([1,1]) #<=不等式右侧常数矩阵
#A_eq = numpy.array() 等式左侧未知数系数矩阵
#B_eq = numpy.array() 等式右侧常数矩阵
x = (None,1) #未知数取值范围
y = (None,None) #未知数取值范围
res = scipy.optimize.linprog(c,A_ub,B_ub,bounds = (x,y)) #默认求解最小值，求解最大值使用-c并取结果相反数
print(res)

#结果：无解情况con: array([], dtype=float64)fun: -8782091626.64441message: 'The algorithm terminated successfully and determined that the problem is unbounded.'#算法成功终止，确定问题是无界的nit: 3slack: array([0.89897776, 1.20204449])status: 3success: Falsex: array([-1.75641833e+09, -1.75641833e+09])

可以修改问题参数，从而达到有解，欢迎大家尝试！

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