WiFi感知中的多普勒频移

引言：

多普勒效应（doppler effect）与多普勒偏移（doppler shift）代表相同含义，只是在文献中表达不同。

产生原因：

波源和观察者之间速度的相对差异是产生多普勒效应的原因

原理：

第一种表示形式：
当波源与观测者以速度vvv做相对运动时，有
fr=ft(1+v/c1−v/c)=ft(c+vc−v)f_r=f_t\left(\frac{1+v / c}{1-v / c}\right)=f_t\left(\frac{c+v}{c-v}\right) fr=ft(1−v/c1+v/c)=ft(c−vc+v)
其中，frf_rfr是观测者接受到的频率，ftf_tft是波源的频率，ccc代表光速
多普勒频移fdf_dfd可以表示为：
fd=fr−ft=2vft(c−v)f_d=f_r-f_t=2 v \frac{f_t}{(c-v)} fd=fr−ft=2v(c−v)ft
由于 v≪cv \ll cv≪c，因此多普勒频移fdf_dfd可以约等于成：
fd≈2vftcf_d \approx 2 v \frac{f_t}{c} fd≈2vcft

第二种表示形式：

波源静止，当接收端以恒定的速率 vvv 在长度为d，端点为 X和 Y的路径上运动时收到来自波源 S发出的信号，无线信号从波源S出发，在X点与Y点被接收端接收时所走的路径差可近似表示为:
Δl=d⋅cos⁡Θ=v⋅Δt⋅cos⁡Θ\Delta \mathrm{l}=\mathrm{d} \cdot \cos \Theta=v \cdot \Delta \mathrm{t} \cdot \cos \Theta Δl=d⋅cosΘ=v⋅Δt⋅cosΘ
每个波长对应 2πrad2 \pi \mathrm{rad}2πrad 的相位变化，由于路程差造成的接收端信号相位变化值为:
Δφ=2π⋅Δlλ=2π⋅v⋅Δtλ⋅cos⁡Θ\Delta \varphi=2 \pi \cdot \frac{\Delta \mathrm{l}}{\lambda}=2 \pi \cdot \frac{v \cdot \Delta \mathrm{t}}{\lambda} \cdot \cos \Theta Δφ=2π⋅λΔl=2π⋅λv⋅Δt⋅cosΘ
求相位和时间的导数，可得到相位随时间的变化率，即角频率 w\mathrm{w}w 为:
w=ΔφΔt=2π⋅vλ⋅cos⁡Θ\mathrm{w}=\frac{\Delta \varphi}{\Delta \mathrm{t}}=2 \pi \cdot \frac{v}{\lambda} \cdot \cos \Theta w=ΔtΔφ=2π⋅λv⋅cosΘ
多普勒频移与角频率的关系为: w=2πfdw=2 \pi \mathrm{f}_{\mathrm{d}}w=2πfd
即 fd=12π⋅w=vλ⋅cos⁡Θ\text { 即 } f_d=\frac{1}{2 \pi} \cdot \mathrm{w}=\frac{v}{\lambda} \cdot \cos \Theta 即 fd=2π1⋅w=λv⋅cosΘ
波长与频率之间的关系式为：
c=λ⋅ft\mathrm{c}=\lambda \cdot \mathrm{f_t}c=λ⋅ft
所以多普勒频移的关系式也可以是这样：
fd=12π⋅w=ft⋅vc⋅cos⁡Θ\mathrm{f}_{\mathrm{d}}=\frac{1}{2 \pi} \cdot \mathrm{w}=\frac{\mathrm{f_t} \cdot v}{\mathrm{c}} \cdot \cos \Theta fd=2π1⋅w=cft⋅v⋅cosΘ

无线感知中的应用

当人在环境中移动时，人体反射信号的路径长度会发生相应的变化，这会在反射信号的载波频率上引入多普勒频移：
fd =fvpath cf_{\text {d }}=f \frac{v_{\text {path }}}{c} fd =fcvpath
其中，fff代表信号载波的中心频率，vpath v_{\text {path }}vpath 代表路径长度变化的速度(小问题：这个速度是否约等于人体移动的速度)，ccc代表光速
注意：对于5GHz的WiFi信号，例如64信道，其中心频率为5.32GHz，那么人体行走的最大速度1.5m/s，则fd f_{\text {d }}fd 约等于27Hz。从大得多的载波频率中检测出如此细微的多普勒频移是很困难的。有问题待修正……
幸运的是，商品 Wi-Fi 设备上可用的 CSI 信息可以仅用几百赫兹的采样率来估计多普勒频移。对于 Wi-Fi 信号，CSI 表示信号从发射器到接收器每个子载波的幅度衰减和相位变化，我们可以通过相位的变化推导多普勒频移。
仅考虑一个入射信号，CSI在t0t_0t0可以表示为：
x(f,t0)=A0e−j2πfτ0x\left(f, t_0\right)=A_0 e^{-j 2 \pi f \tau_0}x(f,t0)=A0e−j2πfτ0
其中，A0A_0A0代表幅度衰减，τ0\tau_0τ0代表时延，即信号从发射端到接收端传播的时间
如果传播路径长度以vvv的速度变化，而我们忽略幅度衰减变化，则经过短时间ttt后，路径长度变化Δlpath =vt\Delta l_{\text {path }}=v tΔlpath =vt，时延变化Δτ=vtc\Delta \tau=\frac{v t}{c}Δτ=cvt，此时CSI可以表示为：
x(f,t0+t)=A0e−j2πf(τ0+vtc)=x(f,t0)e−j2πfvtcx\left(f, t_0+t\right)=A_0 e^{-j 2 \pi f\left(\tau_0+\frac{v t}{c}\right)}=x\left(f, t_0\right) e^{-j 2 \pi f \frac{v t}{c}}x(f,t0+t)=A0e−j2πf(τ0+cvt)=x(f,t0)e−j2πfcvt
其中的fvcf \frac{v}{c}fcv即代表多普勒频移。
对于多个入射信号，CSI可以表示为：
x(f,t0+t)=∑i=1LAie−j2πf(τi+vitc),x\left(f, t_0+t\right)=\sum_{i=1}^L A_i e^{-j 2 \pi f\left(\tau_i+\frac{v_i t}{c}\right)}, x(f,t0+t)=i=1∑LAie−j2πf(τi+cvit),
其中，LLL代表路径个数, τi\tau_iτi代表 t0t_0t0时刻第ith i^{\text {th }}ith 条路径传播时延, viv_ivi 代表第 ith i^{\text {th }}ith 条路径变换的速度。第 ith i^{\text {th }}ith 条路径的多普勒频移即(fvic)\left(f \frac{v_i}{c}\right)(fcvi)。因此，如果 CSI 的采样率大于最大多普勒频移的两倍，我们就可以得到每个路径信号的多普勒频移。对于步行速度，CSI所需的采样率在几百赫兹以下，这在商品Wi-Fi设备上很容易实现。

体现到CSI数据上

对CSI做STFT，得到多普勒频移，根据公式fd =fvpath cf_{\text {d }}=f \frac{v_{\text {path }}}{c}fd =fcvpath ，得到vpath v_{\text {path }}vpath

参考文献

IndoTrack: Device-Free Indoor Human Tracking with Commodity Wi-Fi

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