C++数据结构——旅游规划（Floyd算法详解）

旅游规划

作者陈越单位浙江大学
有了一张自驾旅游路线图，你会知道城市间的高速公路长度、以及该公路要收取的过路费。现在需要你写一个程序，帮助前来咨询的游客找一条出发地和目的地之间的最短路径。如果有若干条路径都是最短的，那么需要输出最便宜的一条路径。

输入格式:

输入说明：输入数据的第1行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0~(N−1)；M是高速公路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号。随后的M行中，每行给出一条高速公路的信息，分别是：城市1、城市2、高速公路长度、收费额，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证解的存在。

输出格式:

在一行里输出路径的长度和收费总额，数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

输入样例:
4 5 0 3
0 1 1 20
1 3 2 30
0 3 4 10
0 2 2 20
2 3 1 20
输出样例:
3 40

代码长度限制 16 KB Java (javac) 时间限制 800 ms 内存限制 64 MB
其他编译器时间限制 400 ms内存限制 64 MB

解题代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX 100000
int main()
{int n,m,s,d;int go,to,len,cost;int val[505][505];int dist[505][505];while(cin>>n>>m>>s>>d){for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){val[i][j]=MAX;dist[i][j]=MAX;}}for(int i=1;i<=m;i++){cin>>go>>to>>len>>cost;val[go][to]=cost;val[to][go]=cost;dist[go][to]=len;dist[to][go]=len;}for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){for(int k=0;k<n;k++){if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j]){dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];val[i][j]=val[i][k]+val[k][j];}else if(dist[i][j]==dist[i][k]+dist[k][j]){if(val[i][j]>val[i][k]+val[k][j]){val[i][j]=val[i][k]+val[k][j];}}}}}cout<<dist[s][d]<<" "<<val[s][d]<<endl;}
}

解题思路
首先介绍一下Floyd算法
通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，迭代地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
采用松弛技术（松弛操作），对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

以上内容来自百度词条，看不懂没关系，总的来说，Floyd算法的时间复杂度是O(n^3),它能够计算任意两点之间的最短路径，利用动态规划的思想。我们根据题目去学习一下这个算法。

首先，我们先根据样例绘画出我们的图，如下所示：
4 5 0 3
0 1 1 20
1 3 2 30
0 3 4 10
0 2 2 20
2 3 1 20

我们要求的是0到3的最短路径，然后这里要注意，如果路径相同，要选最便宜的一条路径。
然后根据题目，我们可以得到下面这两个邻接矩阵，dist是代表点与点之间的路径，val代表点之间需要花费的价钱，INF代表无穷大

dist	0	1	2	3
0	INF	1	2	4
1	1	INF	INF	2
2	2	INF	INF	1
3	4	2	1	INF

val	0	1	2	3
0	INF	20	20	10
1	20	INF	INF	30
2	20	INF	INF	20
3	10	30	20	INF

Floyd算法就是求任意两点，找这两点之间是否存在一点或者多点作为中介点，能够得到两点间的最短路径。只不过这道题目我们还要考虑路径相同的情况下，要选择价值比较小的那条路径。
本题解题核心代码

for(int i=0;i<n;i++){//以i为起点for(int j=0;j<n;j++){//为终点for(int k=0;k<n;k++){//k为中间媒介点//如果邻接表中此时存的i到j的路径大于以k作为媒介点的路径，那么更改i到j的距离，并且更改花费if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j]){dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];val[i][j]=val[i][k]+val[k][j];//如果距离相等，那就判断价值是否小于已存在矩阵中的价值，是则替换价值}else if(dist[i][j]==dist[i][k]+dist[k][j]){if(val[i][j]>val[i][k]+val[k][j]){val[i][j]=val[i][k]+val[k][j];}}}}
}

最好的理解办法就是解析循环，第一层循环就是表示以i为起点，第二层循环表示的是以j为起点，第三层循环表示的从i到j是否存在一个点k能够作为中介点，令i到j的距离更短。
假设当i=0时，循环j=1（j=0时找0到0的距离，没意义，不举例了）然后我们找k，k=0和k=1其实没啥意义，我们从k=2开始。
其实我们可以得到这样的图：

实际上就是找比较0到1的直接距离，和0到2再到1的距离进行比较，如果短就先存到邻接矩阵里面，也就是这句代码

if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j]){dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];val[i][j]=val[i][k]+val[k][j];
}

其他的点也是如此类推，假设，我们假设0到2再到1的距离比0到1的短，那么dist[0][1]=dist[0][2]+dist[2][1],然后再去判断将点3作为中间媒介点时，距离是否更短，短的话替换就行。
差不多就是这个道理吧，将点之间的最短距离存储再矩阵里，然后使用的时候直接矩阵中可以取出来用。

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