题目

题目背景
我的世界里，闯入两尊神：其一 炎翼鸟，其二 英陀罗。

夜卧床，窗外无光，脑中却是一片光明——是 炎翼鸟 的翅膀上的火焰，这火焰点燃的太阳。光芒如此灼烈，用手遮住双眼也徒劳：光弥散在空气中，滴落在衣服上。

夜无眠。日初升。我已伸手不见五指——是 英陀罗 的完全体丶须佐科夫，遮天蔽日。见过它的人都离死神不远。我知道光在外面，可光透不过这套子。

我，一介凡人，何以逆天？我就在颠倒的日夜中，努力地求着生存！

题目描述
对于一棵树，给出 p i p_i pi 表示树上距离 i i i 最远的点。如果这样的点有多个，则 p i = − 1 p_i=-1 pi=−1 。

请根据 { p i } \{p_i\} {pi} 还原出任意一棵可能的树。若无解输出 Impossible 即可。

数据范围与约定
点数 n ⩽ 1 0 6 n\leqslant 10^6 n⩽106 。

思路

本题虽说是构造题，尚且不算天马行空，可做。然吾费时于 T 2 T2 T2 却无果，悲夫！

最远点，其实是大家都很熟悉的东西。然而我似乎没能很快地联想到这些东西……

经典结论：任意点的最远点集与任意直径的端点集合有交，且任意点的最远点集只含直径端点。

由前半句，若 p i ≠ − 1 p_i\ne -1 pi=−1，对于任意直径，其端点之一必然是 p i p_i pi，即 p i p_i pi 在所有直径端点的交集之中。

因为一些历史原因（原题面对部分分的描述方式）设 S = { p i ∣ i ∈ [ 1 , n ] } ∪ { − 1 } S=\{p_i\mid i\in[1,n]\}\cup\{-1\} S={pi∣i∈[1,n]}∪{−1} 。由于直径是很重要的信息，而 S S S 与直径直接挂钩，故下面做了些分类讨论。

∣ S ∣ = 3 |S|=3 ∣S∣=3

p i p_i pi 在所有直径端点的交集之中，所以 ⟨ a , b ⟩ \langle a,b\rangle ⟨a,b⟩ 必然是唯一直径。若 p a ≠ b p_a\ne b pa=b 则存在另一条直径 ⟨ a , c ⟩ \langle a,c\rangle ⟨a,c⟩，矛盾，故 p a = b p_a=b pa=b 。同理有 p b = a p_b=a pb=a 。

放好 p i = − 1 p_i=-1 pi=−1 的点很简单，就是在直径 a , b a,b a,b 的中点上挂儿子，包括中点本身也是 p i = − 1 p_i=-1 pi=−1 的点。放 p i = b p_i=b pi=b 则需要在中点靠近 a a a 的部分挂儿子，然后 a a a 到中点的链上都是 p i = b p_i=b pi=b 的点。对于 p i = a p_i=a pi=a 则对称操作。

仔细思考发现，我们可以缩减到只需要两个 p i = a ( i ≠ b ) p_i=a\;(i\ne b) pi=a(i=b) 和 p i = b ( i ≠ a ) p_i=b\;(i\ne a) pi=b(i=a) 的点，即一个 7 7 7 个点（或 6 6 6 个点）的直径。可以画图证明这是必要的。注意，若二者的数量均为 1 1 1，那么 5 5 5 个点（或 4 4 4 个点）的直径就可以实现了，这是仅有的特例。

∣ S ∣ = 1 |S|=1 ∣S∣=1

即 p i = − 1 p_i=-1 pi=−1 恒成立。不难想到构造菊花图。

∣ S ∣ = 2 |S|=2 ∣S∣=2

知道直径的一端是 a a a，另一端至少有 2 2 2 个选择 b , c b,c b,c 。

若 p b ≠ a p_b\ne a pb=a 则存在直径 ⟨ b , d ⟩ ( d ≠ a ) \langle b,d\rangle\;(d\ne a) ⟨b,d⟩(d=a)，与 p i = a p_i=a pi=a 为任意直径的端点之一矛盾。同理，必有 p b = p c = a p_b=p_c=a pb=pc=a 。

从小处着笔。比如就让 dis ( b , c ) = 2 \text{dis}(b,c)=2 dis(b,c)=2，设二者之间的点是 ν \nu ν，设直径长度为 5 5 5 个点。画图可见， ν \nu ν 与其子树（不含 a a a 的部分）都是 p = a p=a p=a 的点，除此之外都是 p = − 1 p=-1 p=−1 的点。

但我们需要三个 p = a p=a p=a 的点，因为有 p ν = a p_{\nu}=a pν=a 存在。试试证明其必要性：以 a a a 为根，记 κ \kappa κ 为 b , c b,c b,c 的最近公共祖先，必然有 dis ( κ , a ) > dis ( κ , b ) = dis ( κ , c ) \text{dis}(\kappa,a)>\text{dis}(\kappa,b)=\text{dis}(\kappa,c) dis(κ,a)>dis(κ,b)=dis(κ,c)，否则 ⟨ b , c ⟩ \langle b,c\rangle ⟨b,c⟩ 将成为直径。若 p κ ≠ a p_\kappa\ne a pκ=a，则 κ \kappa κ 存在一个最远点 w ( w ∉ { a , b , c } ) w\;(w\notin\{a,b,c\}) w(w∈/{a,b,c})，因最远点总是直径端点，且 p i = a p_i=a pi=a 是所有直径的公共端点，所以 ⟨ w , a ⟩ \langle w,a\rangle ⟨w,a⟩ 是一条直径，类似于 b , c b,c b,c 有 p w = a p_w=a pw=a 。

所以，要么 p w = a p_w=a pw=a，要么 p κ = a p_{\kappa}=a pκ=a，总是能找到三个 p i = a p_i=a pi=a 的点。

当然，我们还需要一个 p = − 1 p=-1 p=−1 的点（除 p a = − 1 p_a=-1 pa=−1 以外），但其必要性显然：考虑 a a a 往 κ \kappa κ 方向走一步的点，不可能有 p i = a p_i=a pi=a 。

综述

基本上都是从小处着眼，设计一个长度较小的直径即可。算是良心构造题了，只是麻烦而已。

代码

#include <cstdio> // JZM yydJUNK!!!
#include <iostream> // XJX yyds!!!
#include <algorithm> // XYX yydLONELY!!!
#include <cstring> // (the STRONG long for LONELINESS)
#include <cctype> // ZXY yydSISTER!!!
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){int a = 0, c = getchar(), f = 1;for(; !isdigit(c); c=getchar())if(c == '-') f = -f;for(; isdigit(c); c=getchar())a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);return a*f;
}const int MAXN = 1000006;
int p[MAXN], a, b, fa[MAXN];int main(){int n = readint();rep(i,1,n) if((p[i] = readint()) != -1){if(a == p[i] || b == p[i]) continue;if(b){ puts("Impossible"); return 0; }if(a) b = p[i]; else a = p[i];}if(n <= 3){ // must be a chainif(n == 1){puts(p[1] == 1 ? "Possible" : "Impossible");return 0;}if(a && b && p[a] == b && p[b] == a && (n != 3 || p[a^b] == -1)){puts("Possible");if(n == 3) printf("%d %d\n%d %d\n",a,a^b,b,a^b);else puts("1 2"); // n == 2}else puts("Impossible");return 0; // case closed}if(!a){ // p_i = -1puts("Possible");rep(i,2,n) printf("1 %d\n",i);}else if(!b){ // |S| = 2if(n == 4 || p[a] != -1){puts("Impossible"); return 0;}int top = a, cnt = 0, len = 0;rep(i,1,n) if(p[i] == a) b = i, ++ cnt;if(cnt < 3 || cnt == n-1){puts("Impossible"); return 0;}rep(i,1,n) if(i != a && i != b){if(p[i] == a) fa[i] = b;else if(len == 2) fa[i] = top;else fa[top] = i, ++ len, top = i;}fa[top] = b; // linkputs("Possible");rep(i,1,n) if(i != b)printf("%d %d\n",i,fa[i]);}else{ // |S| = 3if(p[a] != b || p[b] != a){puts("Impossible"); return 0;}int top[2] = {a,b}, len[2] = {0,0};rep(i,1,n) if(i != a && i != b && p[i] != -1){const int bel = (p[i] == a);if(len[bel] == 2) fa[i] = top[bel];else fa[top[bel]] = i, ++ len[bel], top[bel] = i;}int lst = 0; // chain of (p_i = -1)rep(i,1,n) if(!(~p[i])) // get anus!(lst) ? (fa[i] = lst) : (lst = i);if(len[0] && len[0] == len[1]){if(lst) fa[top[0]] = lst, fa[lst] = top[1];else fa[top[0]] = top[1]; // linkputs("Possible");rep(i,1,n) if(i != top[1])printf("%d %d\n",i,fa[i]);}else puts("Impossible");}return 0;
}

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∣ S ∣ = 3 |S|=3 ∣S∣=3

∣ S ∣ = 1 |S|=1 ∣S∣=1

∣ S ∣ = 2 |S|=2 ∣S∣=2

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