信息学奥赛一本通（1314：【例3.6】过河卒(Noip2002)）

1314：【例3.6】过河卒(Noip2002)

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【题目描述】

棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的某一点有一个对方的马（如C点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点和P1，……，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点(0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。

【输入】

给出n、m和C点的坐标。

【输出】

从A点能够到达B点的路径的条数。

【输入样例】

8 6 0 4

【输出样例】

【分析】

看到棋盘，可能首先想到深搜，事实上，这道题用深搜时，当n、m=15时，就会超时。本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过来（称之为左点）或是从上面过来（称之为上点），所以根据加法原理，到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径数目之和，因此我们可以逐列（或逐行）递推的方法来求出从起点到终点的路径数目。障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该点的路径数目设置为0即可。

用f[i][j]表示到达点(i,j)的路径数目，g[i][j]表示点(i,j)有无障碍，g[i][j]=0表示无障碍，g[i][j]=1表示有障碍。则递推关系是如下：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1] // i>0 且 j>0 且 g[i][j]=0；递推边界有4个：

f[i][j]=0 // g[i][j]=1

f[i][0]=f[i-1][0] // i>0 且 g[i][0]=0

f[0][j]=f[0][j-1] // j>0 且 g[0][j]=0

f[0][0]=1

考虑到最大情况下，n=20，m=20，路径条数可能会超过2^31-1，所以要采用高精度。

【参考代码】

#include <stdio.h>
#define MAXM 25
#define MAXN 25
int g[MAXM][MAXN];        //访问数组，表示点(i,j)有无障碍，0无障碍，1有障碍
int dir[8][2]={{-2,-1},{-1,-2},{2,-1},{1,-2},{2,1},{1,2},{-1,2},{-2,1}}; //方向数组
long long f[MAXM][MAXN];    //棋盘数组，到达点(i,j)的路径数目 int n,m;    //棋盘大小
int x,y;    //马的坐标int main()
{int i,j,nx,ny;scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);//处理马控制的点g[x][y]=1;       //x,y不能走f[0][0]=1; for(i=0;i<8;i++){nx=x+dir[i][0];ny=y+dir[i][1];if(nx>=0 && nx<=n && ny>=0 && ny<=m)g[nx][ny]=1;  //不能走 }for(i=1;i<=n;i++){ if(g[i][0])break;elsef[i][0]=1;} for(i=1;i<=m;i++){if(g[0][i])break;elsef[0][i]=1;}for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)if(g[i][j]==0)f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];printf("%lld\n",f[n][m]);return 0;
}

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1314