哈夫曼（Huffman）编码问题（C++）

一、题目描述

哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%～90%之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0，1串表示各字符的最优表示方式。一个包含100,000个字符的文件，各字符出现频率不同，如下表所示：

有多种方式表示文件中的信息，若用0,1码表示字符的方法，即每个字符用唯一的一个0,1串表示。若采用定长编码表示，则需要3位表示一个字符，整个文件编码需要300,000位；若采用变长编码表示，给频率高的字符较短的编码；频率低的字符较长的编码，达到整体编码减少的目的，则整个文件编码需要（45×1+13×3+12×3+16×3+9×4+5×4）×1000=224,000位，由此可见，变长码比定长码方案好，总码长减小约25%。

二、举例

我们用一个简单的例子，来简单描述下哈夫曼编码是什么？有什么好处？

场景：X地区需要向Y地区发送一些文本，两地之间通过电缆（或者通过电报）连接，要求用最少的二进制流传递信息：ABACDAAB

可以看到该信息中一共出现4个A，2个B，C、D各1个

如果用常见的二进制形式编码，那么A：00，B：01，C：10，D：11；信息转二进制流为：0001001011000001，一共是16位。
如果用哈夫曼编码，则其的一种为A：1，B：01，C：000，D：001；信息转二进制流为：10110000011101，一共是14位，比普通的少2位。

这时，我们可能就明白了哈夫曼编码不就是频率出现越高，其编码越短吗？

我们尝试这样来赋值，A：0，B：1，C：01，D：10；二进制流为：0100110001，这个只有10位，比哈夫曼还少呢！

上面的说法似乎有道理，但是我们忽略了哈夫曼的用途可能是信息传输和压缩。当我们把编码规则和二进制流告诉接收方时，他们需要把这些二进制流还原为看得懂的信息。普通编码和哈夫曼编码都可以顺利还原，而第三种则不可能还原，0100…到底是ABAA…还是CAA…呢？

所以哈夫曼编码必须是前缀码，而且还是最优前缀码（前缀码定义：在一个字符集中，任何一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀）

因此，必须达到以上两点构造出的编码才是哈夫曼码。

三、算法设计与分析

1、前缀码：
对每一个字符规定一个0,1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。这种编码称为前缀码。编码的前缀性质可以使译码方法非常简单；例如001011101可以唯一的分解为0,0,101,1101，因而其译码为aabe。
译码过程需要方便的取出编码的前缀，因此需要表示前缀码的合适的数据结构。为此，可以用二叉树作为前缀码的数据结构：树叶表示给定字符；从树根到树叶的路径当作该字符的前缀码；代码中每一位的0或1分别作为指示某节点到左儿子或右儿子的“路标”。
图-1a 与固定长度编码对应的树; 图-1b 对应于最优前缀编码的树

从上图可以看出，表示最优前缀码的二叉树总是一棵完全二叉树，即树中任意节点都有2个儿子。图a表示定长编码方案不是最优的，其编码的二叉树不是一棵完全二叉树。在一般情况下，若C是编码字符集，表示其最优前缀码的二叉树中恰有|C|个叶子。每个叶子对应于字符集中的一个字符，该二叉树有|C|-1个内部节点。

给定编码字符集C及频率分布f,即C中任一字符c以频率f©在数据文件中出现。C的一个前缀码编码方案对应于一棵二叉树T。字符c在树T中的深度记为dT©。dT©也是字符c的前缀码长。则平均码长定义为：

使平均码长达到最小的前缀码编码方案称为C的最优前缀码。

2、构造哈夫曼编码：
哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法，由此产生的编码方案称为哈夫曼编码。其构造步骤如下：

(1)哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。
(2)算法以|C|个叶结点开始，执行|C|－1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T
(3)假设编码字符集中每一字符c的频率是f©。以f为键值的优先队列Q用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和，并将新树插入优先队列Q。经过n－1次的合并后，优先队列中只剩下一棵树，即所要求的树T。

构造过程如图-2所示：
图-2 哈夫曼树构造过程

三、结果与分析

本实验以算法导论书中的例题为测试用例，来验证算法的正确性。即
实验结果截图如下图-7，结果与题目描述中给出的变长代码字一样：

图-7 实验结果截图

五、实验总结

1、实验结果与给出的变长代码字一样，算法正确，且哈夫曼编码问题是一个贪心算法问题。采用哈夫曼编码技术可以最小化总的编码长度，从而实现数据文件的压缩存储。
2、构造好哈夫曼树后，可用排列树回溯法来打印哈夫曼编码，即遇到左子树向左走，vector添加记录0；遇到右子树向右走，vector添加记录1；走到叶子节点并打印出叶节点的编码后回溯，同时往上退一层，则vector弹出一个值。如此不断回溯下去，即可打印所有字符编码。

六、源代码（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;//Huffman树的节点类
typedef struct Node
{char value;               //结点的字符值int weight;               //结点字符出现的频度Node *lchild,*rchild;     //结点的左右孩子
}Node;//自定义排序规则，即以vector中node结点weight值升序排序
bool ComNode(Node *p,Node *q)
{return p->weight<q->weight;
}//构造Huffman树，返回根结点指针
Node* BuildHuffmanTree(vector<Node*> vctNode)
{while(vctNode.size()>1)                            //vctNode森林中树个数大于1时循环进行合并{sort(vctNode.begin(),vctNode.end(),ComNode);   //依频度高低对森林中的树进行升序排序Node *first=vctNode[0];    //取排完序后vctNode森林中频度最小的树根Node *second=vctNode[1];   //取排完序后vctNode森林中频度第二小的树根Node *merge=new Node;      //合并上面两个树merge->weight=first->weight+second->weight;merge->lchild=first;merge->rchild=second;vector<Node*>::iterator iter;iter=vctNode.erase(vctNode.begin(),vctNode.begin()+2);    //从vctNode森林中删除上诉频度最小的两个节点first和secondvctNode.push_back(merge);                                 //向vctNode森林中添加合并后的merge树}return vctNode[0];            //返回构造好的根节点
}//用回溯法来打印编码
void PrintHuffman(Node *node,vector<int> vctchar)
{if(node->lchild==NULL && node->rchild==NULL){//若走到叶子节点，则迭代打印vctchar中存的编码cout<<node->value<<": ";for(vector<int>::iterator iter=vctchar.begin();iter!=vctchar.end();iter++)cout<<*iter;cout<<endl;return;}else{vctchar.push_back(1);     //遇到左子树时给vctchar中加一个1PrintHuffman(node->lchild,vctchar);vctchar.pop_back();       //回溯，删除刚刚加进去的1vctchar.push_back(0);     //遇到左子树时给vctchar中加一个0PrintHuffman(node->rchild,vctchar);vctchar.pop_back();       //回溯，删除刚刚加进去的0}
}int main()
{cout<<"************ Huffman编码问题 ***************"<<endl;cout<<"请输入要编码的字符,并以空格隔开（个数任意）："<<endl;vector<Node*> vctNode;        //存放Node结点的vector容器vctNodechar ch;                      //临时存放控制台输入的字符while((ch=getchar())!='\n'){if(ch==' ')continue;      //遇到空格时跳过，即没输入一个字符空一格空格Node *temp=new Node;temp->value=ch;temp->lchild=temp->rchild = NULL;vctNode.push_back(temp);  //将新的节点插入到容器vctNode中}cout<<endl<<"请输入每个字符对应的频度，并以空格隔开："<<endl;for(int i=0;i<vctNode.size();i++)cin>>vctNode[i]->weight;Node *root = BuildHuffmanTree(vctNode);   //构造Huffman树，将返回的树根赋给rootvector<int> vctchar;cout<<endl<<"对应的Huffman编码如下："<<endl;PrintHuffman(root,vctchar);system("pause");
}

参考自：
allinallinallin