《数值分析》学习笔记 ·002——误差知识
文章目录
- 一、误差类型与误差来源
- 二、绝对误差与相对误差
- 1、绝对误差与绝对误差限
- 2、相对误差与相对误差限
- 三、有效数字
- 1、有效数字
- 2、有效数字与相对误差限的关系
- 四、数值计算中的误差估计
- 1、两个近似值运算的误差限
- 2、近似值带入一元函数产生的误差
- 3、近似值带入多元函数产生的误差
一、误差类型与误差来源
| 误差类型 | 误差来源 | 具体解释 |
|---|---|---|
| 模型误差 | 实际问题→物理模型 | 这个过程中，我们需要作一些假设、近似简化 |
| 模型误差 | 物理模型→一般数学模型 | 这个过程中，我们也需要做一些假设 |
| 测量误差 | 一般数学模型→具体数学模型 | 只有测量出一些参数、定解条件才能建立具体的数学模型，而测量时往往会产生误差 |
| 截断误差 | 具体数学模型→算法编程 | 在构造算法时，为了便于实现，还会再忽略一些影响小的地方 |
| 舍入误差 | 算法编程→上机计算 | 计算机以二进制方式存储数值，往往存在一些精度问题，从而产生误差。 |
注：上述误差中，我们重点研究的是截断误差。
二、绝对误差与相对误差
1、绝对误差与绝对误差限
- 定义1：
设xxx是一个准确值，x∗x^*x∗是它的近似值。
称e∗=x∗−xe^*=x^*-xe∗=x∗−x为近似值x∗x^*x∗的绝对误差，简称误差。实际上准确值xxx常常无法得到，因而无法求出绝对误差，一般只能估计出e∗e^*e∗的上界，即∣e∗∣=∣x∗−x∣≤ε∗| e^* | = |x^* - x| \leq \varepsilon^*∣e∗∣=∣x∗−x∣≤ε∗我们称ε∗\varepsilon^*ε∗为近似值x∗x^*x∗的绝对误差限。有了误差限ε∗\varepsilon^*ε∗，就能知道准确值xxx的范围x∗−ε∗≤x≤x∗+ε∗x^* - \varepsilon^* \leq x \leq x^* + \varepsilon^*x∗−ε∗≤x≤x∗+ε∗在工程上常用x=x∗±ε∗x = x^* \pm \varepsilon^*x=x∗±ε∗来表示这个范围。
2、相对误差与相对误差限
- 定义2：
设x∗x^*x∗为准确值xxx的一个近似值。
称er∗=e∗x=x∗−xxe_r^*= \frac {e^*} {x} = \frac {x^* - x} {x}er∗=xe∗=xx∗−x为近似值x∗x^*x∗的相对误差。实际计算中，由于准确值xxx往往无法得到，常常将相对误差取作er∗=e∗x∗=x∗−xx∗e_r^*=\frac {e^*} {x^*} = \frac {x^* - x} {x^*}er∗=x∗e∗=x∗x∗−x
相对误差常常无法得到，只能估计它的大小范围。如果有正数εr∗\varepsilon_r^*εr∗，使得∣er∗∣=∣e∗x∗∣≤εr∗| e_r^* |=| \frac {e^*} {x^*} | \leq \varepsilon_r^*∣er∗∣=∣x∗e∗∣≤εr∗则称εr∗\varepsilon_r^*εr∗为近似值x∗x^*x∗的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
- 定义3：
设近似值x∗x^*x∗的误差限是某一位的半个单位，该位到x∗x^*x∗的第一位非零数字共有nnn位，就说x∗x^*x∗有n位有效数字。可表示为x∗=±10m×(a1+a2×10−1+⋯+an×10−(n−1))x^* = \pm 10^m \times (a_1 + a_2 \times 10^{-1} + \cdots + a_n \times 10^{-(n-1)})x∗=±10m×(a1+a2×10−1+⋯+an×10−(n−1))其中ai(i=1,2,⋯,n)a_i(i = 1, 2, \cdots, n)ai(i=1,2,⋯,n)是0到9中的一个数字，a1≠0a_1 \not= 0a1=0，mmm为整数，且∣x−x∗∣≤12×10m−n+1| x - x^* | \leq \frac {1} {2} \times 10^{m - n + 1}∣x−x∗∣≤21×10m−n+1
举个例子吧，比如x=π=3.14159265⋯×100x = \pi = 3.14159265\cdots \times 10^0x=π=3.14159265⋯×100，这里m=0m = 0m=0，
| 近似值x∗x^*x∗ | （绝对）误差限ε∗\varepsilon^*ε∗ | 有效数字 |
|---|---|---|
| 333 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.14≤0.5=12×100=12×100−1+1\leq 0.14 \leq 0.5 = \frac {1} {2} \times 10^{0} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 1 + 1}≤0.14≤0.5=21×100=21×100−1+1 | 111位有效数字 |
| 3.13.13.1 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.05≤0.05=12×10−1=12×100−2+1\leq 0.05 \leq 0.05 = \frac {1} {2} \times 10^{-1} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 2 + 1}≤0.05≤0.05=21×10−1=21×100−2+1 | 222位有效数字 |
| 3.143.143.14 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.0016≤0.005=12×10−2=12×100−3+1\leq 0.0016 \leq 0.005 = \frac {1} {2} \times 10^{-2} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 3 + 1}≤0.0016≤0.005=21×10−2=21×100−3+1 | 333位有效数字 |
| 3.1423.1423.142 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.0005≤0.0005=12×10−3=12×100−4+1\leq 0.0005 \leq 0.0005 = \frac {1} {2} \times 10^{-3} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 4 + 1}≤0.0005≤0.0005=21×10−3=21×100−4+1 | 444位有效数字 |
| 3.14163.14163.1416 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.000008≤0.00005=12×10−4=12×100−5+1\leq 0.000008 \leq 0.00005 = \frac {1} {2} \times 10^{-4} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 5 + 1}≤0.000008≤0.00005=21×10−4=21×100−5+1 | 555位有效数字 |
| \ | \ | \ |
| 3.23.23.2 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.06≤0.5=12×100=12×100−1+1\leq 0.06 \leq 0.5 = \frac {1} {2} \times 10^{0} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 1 + 1}≤0.06≤0.5=21×100=21×100−1+1 | 111位有效数字 |
| 3.153.153.15 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.009≤0.05=12×10−1=12×100−2+1\leq 0.009 \leq 0.05 = \frac {1} {2} \times 10^{-1} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 2 + 1}≤0.009≤0.05=21×10−1=21×100−2+1 | 222位有效数字 |
| 3.1413.1413.141 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.0006≤0.005=12×10−2=12×100−3+1\leq 0.0006 \leq 0.005 = \frac {1} {2} \times 10^{-2} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 3 + 1}≤0.0006≤0.005=21×10−2=21×100−3+1 | 333位有效数字 |
| 3.14153.14153.1415 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| ≤0.0001≤0.0005=12×10−3=12×100−4+1\leq 0.0001 \leq 0.0005 = \frac {1} {2} \times 10^{-3} = \frac{1} {2} \times 10^{0 - 4 + 1}≤0.0001≤0.0005=21×10−3=21×100−4+1 | 444位有效数字 |
再举个例子吧，比如x=0.019283746=1.9283746×10−2x = 0.019283746 = 1.9283746 \times 10^{-2}x=0.019283746=1.9283746×10−2，这里m=−2m = -2m=−2，
| 近似值x∗x^*x∗ | （绝对）误差限ε∗\varepsilon^*ε∗ | 有效数字 |
|---|---|---|
| 0.020.020.02 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000716254≤0.005=12×10−2=12×10−2−1+1= 0.000716254 \leq 0.005 = \frac {1} {2} \times 10^{-2} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 1 + 1}=0.000716254≤0.005=21×10−2=21×10−2−1+1 | 111位有效数字 |
| 0.0190.0190.019 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000283746≤0.0005=12×10−3=12×10−2−2+1= 0.000283746 \leq 0.0005 = \frac {1} {2} \times 10^{-3} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 2 + 1}=0.000283746≤0.0005=21×10−3=21×10−2−2+1 | 222位有效数字 |
| 0.01930.01930.0193 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000016254≤0.00005=12×10−4=12×10−2−3+1= 0.000016254 \leq 0.00005 = \frac {1} {2} \times 10^{-4} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 3 + 1}=0.000016254≤0.00005=21×10−4=21×10−2−3+1 | 333位有效数字 |
| 0.019280.019280.01928 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000003746≤0.000005=12×10−5=12×10−2−4+1= 0.000003746 \leq 0.000005 = \frac {1} {2} \times 10^{-5} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 4 + 1}=0.000003746≤0.000005=21×10−5=21×10−2−4+1 | 444位有效数字 |
| 0.0192840.0192840.019284 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000000254≤0.0000005=12×10−6=12×10−2−5+1= 0.000000254 \leq 0.0000005 = \frac {1} {2} \times 10^{-6} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 5 + 1}=0.000000254≤0.0000005=21×10−6=21×10−2−5+1 | 555位有效数字 |
| \ | \ | \ |
| 0.0200.0200.020 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000716254≤0.005=12×10−2=12×10−2−1+1= 0.000716254 \leq 0.005 = \frac {1} {2} \times 10^{-2} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 1 + 1}=0.000716254≤0.005=21×10−2=21×10−2−1+1 | 111位有效数字 |
| 0.01920.01920.0192 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000083746≤0.0005=12×10−3=12×10−2−2+1= 0.000083746 \leq 0.0005 = \frac {1} {2} \times 10^{-3} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 2 + 1}=0.000083746≤0.0005=21×10−3=21×10−2−2+1 | 222位有效数字 |
| 0.019290.019290.01929 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000006254≤0.00005=12×10−4=12×10−2−3+1= 0.000006254 \leq 0.00005 = \frac {1} {2} \times 10^{-4} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 3 + 1}=0.000006254≤0.00005=21×10−4=21×10−2−3+1 | 333位有效数字 |
| 0.0192830.0192830.019283 | |e∗e^*e∗| === |x∗−xx^*-xx∗−x| =0.000000746≤0.000005=12×10−5=12×10−2−4+1= 0.000000746 \leq 0.000005 = \frac {1} {2} \times 10^{-5} = \frac{1} {2} \times 10^{-2 - 4 + 1}=0.000000746≤0.000005=21×10−5=21×10−2−4+1 | 444位有效数字 |
观察上面两个例子，我们很容易得出以下结论：
- 小结1：
如果近似数是由“四舍五入”得到的，显然绝对误差限ε∗\varepsilon^*ε∗会是最后单位的半个单位，因此最后一位是有效数位，因此从最后一位一直到其最左边第一个（“最左边第一个”需要从左往右数）非零数字之间的一切数字都是有效数字。
下面来看一道例题。
- 例题1：
下面各数是经过“四舍五入”得到的近似值，室温他们各有即为有效数字？误差限是多少？−3.1433、0.01005、6×103、2×10−3-3.1433、0.01005、6 \times 10^3、2 \times 10^{-3}−3.1433、0.01005、6×103、2×10−3
解：根据小结1中的结论，我们很容易根据近似值x∗x^*x∗，计算出有效位数nnn
根据定义3中的不等式，我们很容易根据近似值x∗x^*x∗，计算出近似值科学计数法的幂指数mmm
计算如下表所示：近似值x∗x^*x∗的科学计数法表示 有效位数nnn 近似值x∗x^*x∗科学计数法幂指数mmm 根据|x−x∗x - x^*x−x∗| ≤12×10m−n+1\leq \frac {1} {2} \times 10^{m - n + 1}≤21×10m−n+1计算（绝对）误差限ε∗\varepsilon^*ε∗ −3.1433=−3.1433×100-3.1433 = -3.1433 \times 10^0−3.1433=−3.1433×100 555 000 12×100−5+1=12×10−4\frac {1} {2} \times 10^{0-5+1} = \frac {1} {2} \times 10^{-4}21×100−5+1=21×10−4 0.01005=1.005×10−20.01005 = 1.005 \times 10^{-2}0.01005=1.005×10−2 444 −2-2−2 12×10−2−4+1=12×10−5\frac {1} {2} \times 10^{-2-4+1} = \frac {1} {2} \times 10^{-5}21×10−2−4+1=21×10−5 6×1036 \times 10^36×103 111 333 12×103−1+1=12×103\frac {1} {2} \times 10^{3-1+1} = \frac {1} {2} \times 10^{3}21×103−1+1=21×103 2×10−32 \times 10^{-3}2×10−3 111 −3-3−3 12×10−3−1+1=12×10−3\frac {1} {2} \times 10^{-3-1+1} = \frac {1} {2} \times 10^{-3}21×10−3−1+1=21×10−3
2、有效数字与相对误差限的关系
有效数字与相对误差限的关系，有下面的定理。
- 定理1：
设近似数x∗x^*x∗表示为x∗=±10m×(a1+a2×10−1+⋯+al×10−(l−1))x^* = \pm 10^m \times (a_1 + a_2 \times 10^{-1} + \cdots + a_l \times 10^{-(l-1)})x∗=±10m×(a1+a2×10−1+⋯+al×10−(l−1))，其中ai(i=1,2,⋯,n)a_i(i = 1, 2, \cdots, n)ai(i=1,2,⋯,n)是0到9中的一个数字，a1≠0a_1 \not= 0a1=0，mmm为整数，- 若x∗x^*x∗具有nnn位有效数字，则其相对误差限εr∗≤12a1×10−(n−1)\varepsilon_r^* \leq \frac {1} {2a_1} \times 10^{-(n-1)}εr∗≤2a11×10−(n−1)
- 反之，若x∗x^*x∗的相对误差限εr∗\varepsilon_r^*εr∗满足εr∗≤12(a1+1)×10−(n−1)\varepsilon_r^* \leq \frac {1} {2(a_1 + 1)} \times 10^{-(n-1)}εr∗≤2(a1+1)1×10−(n−1)则x∗x^*x∗至少具有nnn位有效数字。
定理1实际上说明了：有效位数越多，相对误差限越少。
四、数值计算中的误差估计
1、两个近似值运算的误差限
- 结论1
设两个近似值x1∗x_1^*x1∗与x2∗x_2^*x2∗的误差限分别为ε(x1∗)\varepsilon(x_1^*)ε(x1∗)、ε(x2∗)\varepsilon(x_2^*)ε(x2∗)，则将它们加、减、乘、除运算所得到的误差限分别满足以下不等式：- ε(x1∗±x2∗)≤ε(x1∗)+ε(x2∗)\varepsilon(x_1^* \pm x_2^*) \leq \varepsilon(x_1^*) + \varepsilon(x_2^*)ε(x1∗±x2∗)≤ε(x1∗)+ε(x2∗)
- ε(x1∗x2∗)≤∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗)\varepsilon(x_1^* x_2^*) \leq | x_1^* | \varepsilon(x_2^*) + | x_2^* |\varepsilon(x_1^*)ε(x1∗x2∗)≤∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗)
- ε(x1∗x2∗)≤ε(x1∗x2∗)≤∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗)∣x2∗∣2\varepsilon(\frac {x_1^*} {x_2^*}) \leq \frac {\varepsilon(x_1^* x_2^*) \leq | x_1^* | \varepsilon(x_2^*) + | x_2^* |\varepsilon(x_1^*)} {{|x_2^*|}^2}ε(x2∗x1∗)≤∣x2∗∣2ε(x1∗x2∗)≤∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗)，x2∗≠0x_2^* \not= 0x2∗=0
2、近似值带入一元函数产生的误差
- 结论2
根据泰勒公式，可知：∣f(x)−f(x∗)∣≤∣f′(x∗)∣ε(x∗)+∣f′′(ξ)∣2ε2(x∗)|f(x)-f(x^*)| \leq | f'(x^*) | \varepsilon(x^*) + \frac {| f^{\prime\prime}(\xi) |} {2} \varepsilon^2(x^*)∣f(x)−f(x∗)∣≤∣f′(x∗)∣ε(x∗)+2∣f′′(ξ)∣ε2(x∗)忽略高阶项，可得计算函数的误差限ε(f(x∗))≈∣f′(x∗)∣ε(x∗)\varepsilon \left( f \left( x^* \right) \right) \approx |f'(x^*)| \varepsilon(x^*)ε(f(x∗))≈∣f′(x∗)∣ε(x∗)
3、近似值带入多元函数产生的误差
- 结论3
设A=f(x1,x2,⋯,xn)A = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)A=f(x1,x2,⋯,xn)，A∗=f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗)A^* = f(x_1^*, x_2^*, \cdots, x_n^*)A∗=f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗)根据泰勒公式，可知，A∗A^*A∗的相对误差限为εr∗=εr(A∗)=ε(A∗)∣A∗∣≈∑k=1n∣(∂f∂xk)∗∣⋅ε(xk∗)∣A∗∣\varepsilon_r^* = \varepsilon_r(A^*) = \frac {\varepsilon(A^*)} {| A^* |} \approx \sum_{k=1}^n {\left| \left( \frac {\partial f} {\partial x_k} \right)^* \right|} \cdot \frac {\varepsilon \left( x_k^* \right)} {\left|A^* \right|}εr∗=εr(A∗)=∣A∗∣ε(A∗)≈k=1∑n∣∣∣∣(∂xk∂f)∗∣∣∣∣⋅∣A∗∣ε(xk∗)
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