【数据结构与算法基础】二叉树

写在前面

上面一篇介绍了简单的线性的数据结构浅入浅出数据结构（二）堆栈与队列这一篇研究一些复杂的数据结构：树和二叉树。

1.二叉树简介

二叉树是一种最简单的树形结构，其特点是树中每个结点至多关联到两个后继结点；另一个特点是一个节点关联的后继结点明确地分左右。

（1）定义：二叉树是结点的有穷集合。这个集合可以为空，若不为空，则它是由根结点和称为其左子树和右子树的两个不想交的二叉树组成。

很明显二叉树的定义是一种递归结构。下图给出了五种二叉树的基本形态。

（2）一些基本概念：空树、单点树、父节点、子节点、兄弟结点、树叶结点、分支结点、度数、路径（长度）、结点的层、高度（深度）

（3）性质：

（4）满二叉树：如果二叉树中所有分支结点的度数都为2，则称它为一颗满二叉树。

满二叉树里的叶节点比分支结点多一个。

（5）扩充二叉树：对二叉树T，加入足够多的新叶节点，是T的原有结点都变成度数为2的分支结点，得到的二叉树称为T的扩充二叉树。扩充二叉树新增的节点称为其外部结点，原树的节点称为其内部结点

扩充二叉树的外部结点比其内部结点的个数多1

（6）完全二叉树：如下所示，除最下两层外，其余结点度数都是2（显然都不是叶结点），如果最下一层的结点不满，则所有空位都在在右边，左边没有空位。

一般而言，n个结点的二叉树中最长路径为O（n）。对于所有的n个结点的二叉树，其最长路径的平均值为O（log n）。

2.二叉树数据结构

BiTree(self,data,left,right)	#创建一个新二叉树
is_empty(self)	#判断是否为一颗空树
num_nodes(self)	#求二叉树的节点个数
data(self)	#获取二叉树树根存储的数据
left(self)	#获取二叉树的左子树
right(self)	#获取二叉树的右子树
set_left(self，btree)	#用btree取代原来的左子树
set_right(self，btree)	#用btree取代原来的右子树
traversal(self)	#遍历二叉树中各节点的数据
forall(self,op)	#对二叉树中每个结点的数据执行操作op

二叉树的遍历

在二叉树的操作中，其他操作的实现都比较简单，这里重点是二叉树的遍历操作。二叉树的遍历可按二叉树的构造以及访问结点的顺序分为四种方式，即先序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。

（a）中序遍历

它是指对树中任一结点的访问是在遍历完其左子树后进行的，访问此节点后，再对其右结点遍历。其遍历过程为：中序遍历左子树；访问根结点；中序遍历右子树；

（b）先序遍历

它是指对结点的访问在其左、右子树遍历之前进行。其遍历过程为：访问根结点；先序遍历左子树；先序遍历右子树；

（c）后序遍历

它是指结点左右子树的遍历先进行，然后才是根结点的访问。其遍历过程为：后序遍历左子树；后序遍历右子树；访问根结点；

（d）非递归遍历

前述三种都是递归结构，但是递归虽然简介，却存在执行效率不高的问题，因此，就存在如何把一个递归算法转化为非递归算法的问题。

分析可知，返回结点的顺序与进入结点的顺序相反，即先进入后返回，正好符合堆栈结构。因此可以借助堆栈来实现二叉树的非递归遍历。

（5）层序遍历

层序遍历是按树的层次，从第一层的根结点开始向下逐层访问各个结点，对某一层的节点按从左往右的顺序。这一实现与队列的结构是类似的。

具体的算法实现可以设置一个队列结构，遍历从根结点开始，首先将根结点指针入队，然后开始执行下面三个操作：①从队列中取出一个元素；②访问该元素所指结点；③若钙元素所指结点的左右孩子结点非空，则将其左右孩子的指针顺序入队。不断执行这三步，直至队列为空。

二叉树的创建

二叉树是非线性结构，创建一颗二叉树必须首先确定树中结点的输入顺序，常用的有遍历创建和层序创建。

（1）层序创建

层序创建所用的节点输入序列是按树的从上至下从左至右的顺序形成的，各层的空节点输入数值0。利用的是队列的先进先出特性，每次访问一个节点的时候，将其存入队列中，待遍历完当前结点的左右孩子结点，队列就弹出一个节点。

（）遍历创建

遍历创建是基于堆栈的数据结构实现的。递归建树的过程无非就是一路走到底，但是需要将节点的左右孩子节点对其余的节点相关联起来。

def traversal_create(self, root):data = input()if data is "#":return Noneelse:root.data = dataroot.lchild = self.traversal_create(root.lchild)root.rchild = self.traversal_create(root.rchild)return root

二叉树的list实现

二叉树的链接实现

与连续表的链接实现技术类似：用一个数据单元表示一个二叉树结点，通过子节点链接（指针）建立结点之间的联系。包括一个二叉树结点类和二叉树类。

上述相关的代码已上传至我的Github，欢迎star~: data_structure/Tree/BinaryTree

以上~

2018.04.27