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Everything Is Generated In Equal Probability

题意

①给个N(1≤N≤3000),在1~N中等概率取一个数n

②随机产生一个1~n的排列，记录逆序对个数

③然后等概率随机取一个该排列的子序列

④再次记录逆序对个数

⑤再次等概率去一个子序列……

⑥无穷递归下去，求逆序对总和的数学期望E(N)

⑦结果可能为分数，对998244353取模

思路

样例信息挖掘

先用两层循环枚举分子分母，结合快速幂取分母逆元，将N=2和N=3的答案还原成分数，分别为1/3和8/9

N=1的时候,n只能取1,排列只有1，不存在数对，自然没有逆序对

假设N=x时答案为F(x)

n=x的随机排列对答案的贡献期望为f(x)

$F(N)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(i)$

$F(2)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}f(i)=\frac{1}{2}*f(2)=332748118$

$f(1)=F(1)=0$

$=>f(2)=\frac{2}{3}$

$F(i)=\frac{i-1}{i}*F(i-1)+\frac{1}{i}*f(i)$

$F(3)=\frac{2}{3}*F(2)+\frac{1}{3}*f(3)=554580197$

$=>f(3)=2$

算出f(2)和f(3)也没有什么用，我们找不到规律，但是等会儿推出来公式可以用它验证公式的正确性。

公式推导

在长度为n的随机排列中，数对(x,y)有 $C_n^2$ 个

由于没有相等元素，正序对(x,y) x<y 个数 == 逆序对(x,y) x>y个数

逆序对期望为 $\frac{C_n^2}{2}$ 分裂产生的子序列共有 $2^{i}$ 种,其中，长度为j的有 $C_i^j$ 种

则有：

$f(i)=\frac{C_i^2}{2}+\sum_{j=0}^{i}\frac{C_i^j}{2^{i}}f(j)$

本身期望裂变期望

裂变期望包含变为本身(子序列为本身)，移项将其消去得到递推式：

$f(i)=\frac{2^{i-1}C_i^2+\sum_{j=0}^{i-1}C_i^jf(j)}{2^{i}-1}$

得到f(i)的递推公式，带入i=2和i=3，得到f(2)=2/3 f(3)=2，和我们之前的计算结果相同，故式子正确。

解题方法

我们可以在O(n^2)时间内根据递推式求出每个f(i)

并求出其前缀和，这样便可以通过 $F(N)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(i)$

在O(1)时间内解决每个询问。

代码

太懒了，就贴个std吧

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define per(i, a, b) for(int i = (b) - 1; i >= (a); --i)
#define dd(a) cout << #a << " = " << a << " "
#define de(a) cout << #a << " = " << a << endl
#define sz(a) (int)a.size()
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define pw(a) (1ll << (a))
#define endl "\n"
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef double db;const int N = 3030, P = 998244353;inline int add(int a, int b) {if((a += b) >= P) a -= P;return a;
}
inline int mul(int a, int b) {return 1ll * a * b % P;
}
inline int kpow(int a, int b) {int r = 1;while(b) {if(b & 1) r = r * 1ll * a % P;a = a * 1ll * a % P;b >>= 1;}return r;
}int n, f[N], C[N][N], pw[N];int main() {std::ios::sync_with_stdio(0);std::cin.tie(0);rep(i, 0, N) C[i][0] = C[i][i] = 1;rep(i, 1, N) rep(j, 1, i) C[i][j] = add(C[i - 1][j - 1], C[i - 1][j]);pw[0] = 1;rep(i, 1, N) pw[i] = pw[i - 1] * 2ll % P;rep(i, 2, N) {f[i] = mul(mul(i, i - 1), pw[i - 2]);rep(j, 0, i) f[i] = add(f[i], mul(C[i][j], f[j]));f[i] = mul(f[i], kpow(pw[i] - 1, P - 2));}while(cin >> n) {int ans = 0;rep(i, 1, n + 1) ans = add(ans, f[i]);ans = mul(ans, kpow(n, P - 2));cout << ans << endl;}return 0;
}

至于O(1)公式(n^2-1)/9为什么正确- -我不知道，反正我没推出来，题解也没说。

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hdu6595 Everything Is Generated In Equal Probability 数学期望

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