国王游戏.2333_微扰(邻项交换)证明

题目描述

恰逢 H 国国庆，国王邀请 t 位大臣来玩一个有奖游戏。首先，他让每个大臣在左、右手上面分别写下一个整数，国王自己也在左、右手上各写一个整数。然后，让这 t 位大臣排成一排，国王站在队伍的最前面。排好队后，所有的大臣都会获得国王奖赏的若干金币，每位大臣获得的金币数分别是：「排在该大臣前面的所有人的左手上的数的乘积」除以「他自己右手上的数」，然后向下取整得到的结果。

国王不希望某一个大臣获得特别多的奖赏，所以他想请你帮他重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖赏最多的大臣，所获奖赏尽可能的少。注意，国王的位置始终在队伍的最前面。

输入

第一行包含一个整数 t，表示大臣的人数。

第二行包含两个整数 n 和 m，n,m之间用一个空格隔开，分别表示国王左手和右手上的整数。

接下来t 行，每行包含两个整数 x 和 y，x,y之间用一个空格隔开，分别表示每个大臣左手和右手上的整数。

输出

输出只有一行，包含一个整数，表示重新排列后的队伍中获奖赏最多的大臣所获得的金币数。

样例输入

样例输出

2

提示

按 1、2、3 号大臣这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为2 ；
按 1、3、2 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为2 ；
按 2、1、3 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为2；
按 2、3、1 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 9；
按 3、1、2 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2；
按 3、2、1 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为9 。

因此，奖赏最多的大臣最少获得 2个金币，答案输出2 。

贪心

本题为贪心题目，大家可以先在网上查阅贪心相关内容，这里仅做简单介绍。

贪心是一种在每次决策时采取当前意义下最优策略的算法，使用贪心法要求问题的整体最优性可以由局部最优性导出。贪心算法的正确使用需要证明，常见手法有：1.微扰 2.范围缩放 3.决策包容性 4.反证法 5.数学归纳法。

有《算法进阶竞赛指南》可以查阅本书第45页。

解题思路

在读题，并经过实际操作后，数据的处理是这样的(国王的右手无用，最后一位大臣的左手无用)即最后一个大臣得到的金币为1*2*7/6=2。

按照每个大臣左、右手上的数的乘积从小到大排序，就是最优排队方案。这个贪心算法，可以使用微扰法证明。

对于任意一种顺序，设n名大臣左、右手上的数分别是A[1]~A[n]与B[1]~B[n],国王手里的数是A[0]和B[0]。

如果我们交换相邻的两个大臣i与i+1，交换前这两个大臣得到的金币分别是：
$\frac{1}{B[i]}*\prod_{j=0}^{i-1}A[j]$ 与 $\frac{1}{B[i+1]}*\prod_{j=0}^{i}A[j]$

交换之后这两个大臣获得的奖励是：

$\frac{1}{B[i+1]}*\prod_{j=0}^{i-1}A[j]$ 与 $\frac{A[i+1]}{B[i]}*\prod_{j=0}^{i-i}A[j]$

参考答案

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
//将int定义更改为long long
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int>pii;
//将pair<int,int>更名为pii
//typedef可以更改很多，可以自行查阅
const int N=1010;
pii p[N];//由于int已被修改为long long
//应用signed定义main函数返回类型
signed main()
{int n;cin>>n;for(int i=0;i<=n;i++){int a,b;cin>>a>>b;//使得p[].x中存储a*b即大臣左右手乘积p[i].x=a*b,p[i].y=a;}//快排(按照pair结构中第一个出现的数，由小到大排序)sort(p+1,p+n+1);int res=0,ans=1;for(int i=0;i<=n;i++){   //在计算乘积之前应注意的是，p[].x存储了左右手乘积，每次运算应首先除以该大臣右手if(i) res=max(res,ans/(p[i].x/p[i].y));ans=ans*p[i].y;}cout<<res<<endl;return 0;
}