文章目录

射影变换的初步了解
- 逆命题
- 平面间的映射
- 消除平面透视图像的射影失真
- 直线与二次曲线的变换
- - 直线的变换
  - 二次曲线的变换
博文内容总结和概览
- 知识
- 定理

射影变换的初步了解

2D射影几何研究的是关于射影平面IP2{\rm IP}^2IP2在所谓射影映射的变换群下保持不变的性质。

定义1 射影映射是把IP2{\rm IP}^2IP2到自身的一种满足下列条件的可逆映射hhh：三点x1,x2,x3{\rm x}_1,{\rm x}_2,{\rm x}_3x1,x2,x3共线当且仅当h(x1),h(x2),h(x3)h({\rm x}_1),h({\rm x}_2),h({\rm x}_3)h(x1),h(x2),h(x3)也共线。

射影映射组成一个群，因为其逆和复合运算符合群性质。又称为保线变换，射影变换或单应(homography)。下面给出其等价代数定义。

定理1 映射h:IP2→IP3h:{\rm IP^2 \rightarrow IP^3}h:IP2→IP3是射影映射的充要条件是：存在一个3×33\times 33×3非奇异矩阵HHH,使得IP2{\rm IP}^2IP2的任何一个用矢量x\rm xx表示的点都满足h(x)=Hxh({\rm x})={\rm H}{\rm x}h(x)=Hx。

定理表明射影映射都是以这样一次齐次坐标的线性变换出现，反之这样的映射是射影映射。

使用x{\rm x}x表示IP2{\rm IP}^2IP2中的点，而用Hx{\rm Hx}Hx表示齐次坐标的线性映射。我们证明下面的命题成立，用来不全面证明定理1。

齐次坐标的任何可逆线性变换是射影映射

证明

令x1,x2{\rm x}_1,{\rm x_2}x1,x2和x3{\rm x}_3x3都在同一条直线 l{\rm l}l 上。因此

lTxi=0,i=1,⋯ ,3{\rm l}^T{\rm x}_i=0,i=1,\cdots,3lTxi=0,i=1,⋯,3

令H\rm HH是非奇异3×33\times 33×3的矩阵，又上面式子可以得到

lTH−1Hxi=0→(H−Tl)T(Hxi)=0{\rm l^TH^{-1}Hx}_i=0 \rightarrow ({\rm H}^{-T}{\rm l})^T({\rm Hx}_i)=0lTH−1Hxi=0→(H−Tl)T(Hxi)=0

因此点Hxi{\rm Hx}_iHxi都在直线H−Tl\rm H^{-T}lH−Tl上。因而该变换保持共线性。

逆命题

每个射影映射都以这种方式出现。

给出另一个射影变换（保线变换）的定义。

定义2 射影变换。平面射影变换是关于齐次三维矢量的一种线性变换，并可用一个非奇异3×33\times 33×3矩阵H{\rm H}H表示为：

(1)(x1′x2′x3′)=[h11h12h13h21h22h23h31h32h33](x1x2x3)\begin{pmatrix}x^\prime_1\\x^\prime_2\\x^\prime_3\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\tag{1}⎝⎛x1′x2′x3′⎠⎞=⎣⎡h11h21h31h12h22h32h13h23h33⎦⎤⎝⎛x1x2x3⎠⎞(1)

或更简洁表示为x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx。

注意，可以通过乘以任意非零比例因子来改变在该等式中出现的矩阵HHH而不改变射影变换。因此，我们说HHH是一个齐次矩阵，因为在点的齐次表示中，只有矩阵元素的比例是有意义的。在HHH的九个元素中有八个独立的比率，因此射影变换具有八个自由度（减掉一个比例因子）。

射影变换将每个图形投影为射影等价的图形中，使其所有射影属性保持不变。在前一篇博文中我们描述的射线模型中，射影变换仅仅是IR3{\rm IR}^3IR3的线性变换。

平面间的映射

图1给出了定理1的一个例子。

图1。中心投影将一个平面上的点映射到另一个平面上的点。过投影中心作一张与两平面π\piπ和π′\pi^\primeπ′相交的平面，可以看到中心投影也将线映射到线。由于线被映射到线，因此中心投影是射影的，并且可以通过齐次坐标的线性映射x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx来表示。

沿着通过公共点（投影中心）的射线的投影定义了从一个平面到另一个平面的映射。很明显，这种点到点的映射保留了直线不变，其中一个平面中的线被映射到另一个平面中的线。

如果在每个平面中定义坐标系并且以齐次坐标表示点，则中心投影映射可以用x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx表示，其中HHH是非奇异3×33\times33×3矩阵。实际上，如果在两个平面中定义的两个坐标系都是欧氏（直角）坐标系，那么由中心投影定义的映射比一般射影变换更受限制。它被称为透视映射而不是完全的射影映射，并且可以用具有六个自由度的变换来表示。

消除平面透视图像的射影失真

在透视成像下形状会失真（变形）。例如，在图2中，窗口在图像中不是矩形，尽管原有窗子是。通常，场景平面上的平行线在图像中不平行，而是收敛到有限点。我们已经看到平面（或平面的一部分）的中心投影图像通过投影变换与原始平面相关，因此图像是原始的射影失真。通过计算逆变换并将其应用于图像，可以“撤销”该投影变换。结果将是一个新的合成图像，其中平面中的物体以其正确的几何形状显示。这将在图2 a的建筑物的前墙解释。注意，由于地面和大楼的前墙不在同一平面上，因此必须用于矫正前墙的投影变换与用于地面的投影变换不同。

图2.消除透视失真。（a）具有透视失真的原始图像 - 窗口的线明显地收敛于有限点(延长后相交)。（b）合成得到的前墙的正视图。墙的图像（a）通过射影变换与墙的真实几何形状相关联。通过将四个成像窗口角点映射到适当大小的矩形顶点来计算逆变换。由四点对应确定变换。然后将变换应用于整个图像。注意，地面图像的部分受到进一步的射影失真。这也可以通过射影变换来消除。

首先，选择平面与图像想对应的部分。然后选择图像平面的2D局部坐标和景物的世界坐标，如图1所示。

设世界与图像平面上一对匹配点x\rm xx和x′\rm x^\primex′。我们在这里使用点的非齐次坐标而不是齐次坐标，因为这些非齐次坐标可以直接从图像和世界平面得到。式（1）的射影变换可以用非齐次形式写成

x′=x1′x3′=h11x+h12y+h13h31x+h32y+h33,y′=x2′x3′=h21x+h22y+h23h31x+h32y+h33x^\prime=\frac{x_1^\prime}{x^\prime_3}=\frac{h_{11}x+h_{12}y+h_{13}}{h_{31}x+h_{32}y+h_{33}},y^\prime=\frac{x_2^\prime}{x^\prime_3}=\frac{h_{21}x+h_{22}y+h_{23}}{h_{31}x+h_{32}y+h_{33}}x′=x3′x1′=h31x+h32y+h33h11x+h12y+h13,y′=x3′x2′=h31x+h32y+h33h21x+h22y+h23

每个点对应关系为HHH元素的两个方程，将其乘出简化后是

x′(h31x+h32y+h33)=h11x+h12y+h13x^\prime(h_{31}x + h_{32}y + h_{33}) = h_{11}x + h_{12}y + h_{13}x′(h31x+h32y+h33)=h11x+h12y+h13

y′(h31x+h32y+h33)=h21x+h22y+h23y^\prime(h_{31}x + h_{32}y + h_{33}) = h_{21}x + h_{22}y + h_{23}y′(h31x+h32y+h33)=h21x+h22y+h23

这些方程在HHH的元素中是线性的。四点对应在H的元素中导致八个这样的线性方程，这足以求出HHH，只差不重要的乘法因子。唯一的限制是四个点必须处于“一般位置”，这意味着没有三个点是共线的。然后将以这种方式计算的变换HHH的逆应用于整个图像，以消除透视失真对所选平面的影响。结果如图2 b所示。

说明：首先，以这种方式计算矫正变换HHH不需要知道任何相机的参数或平面的位姿; 第二，并不总是需要知道四点的坐标以消除投影失真。

射影变换是代表比世界平面的透视成像更多情况的重要映射。许多其他例子如图3所示。

图3.在透视图像中射影变换x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx的例子。（a）由世界平面引起的两个图像之间的射影变换（两个射影变换的复合是射影变换）; （b）具有相同摄像机中心的两个图像之间的射影变换（例如，摄像机围绕其中心旋转或变焦其焦距）; （c）平面图像（建筑物的后墙）与其阴影图像到另一个平面（地平面）之间的射影变换。

直线与二次曲线的变换

直线的变换

在定理1的证明中指出，如果点xi{\rm x}_ixi位于线 l\rm ll 上，那么变换点x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx在射影变换下位于线l′=H−Tl\rm l^\prime=H^{-T}ll′=H−Tl。通过这种方式保持了点在线上的性质，因为l′Txi′=lTH−1Hxi{\rm l^{\prime T}x}^\prime_i={\rm l^TH^{-1}Hx}_il′Txi′=lTH−1Hxi。这给出了线的变换规则：在点变换x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx下，直线 l\rm ll 变换为

l′=H−Tl\rm l^\prime=H^{- T}ll′=H−Tl

或者可以写l′T=lTH−1\rm l^{\prime T}=l^TH^{-1}l′T=lTH−1。

注意线和点变换的根本区别。点根据HHH变换，而线（作为行向量）根据H−1H^{-1}H−1变换。这可以用“协变”或“逆变”行为来解释。有人说，点变换是逆变，线变换是协变。

二次曲线的变换

我们知道在前面博文讲述二次曲线和对偶二次曲线时，说过点在二次曲线上的方程为xTCx=0x^TCx=0xTCx=0，那么射影变换中，即在点变换x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx下，该式变为：

xTCx=x′T[H−1]TCH−1x′=x′TH−TCH−1x′\begin{aligned}\rm x^TCx&=\rm x^{\prime T}[H^{-1}]^TCH^{-1}x^\prime\\&=\rm x^{\prime T}H^{-T}CH^{-1}x^\prime\end{aligned}xTCx=x′T[H−1]TCH−1x′=x′TH−TCH−1x′

这是二次形式x′TC′x′\rm x^{\prime T}C^\prime x^\primex′TC′x′，其中C′=H−TCH−1\rm C^\prime=H^{-T}CH^{-1}C′=H−TCH−1。这给出了二次曲线的变换规则：

结论1 在点变换x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx下，二次曲线C\rm CC变换为C′=H−TCH−1\rm C^\prime=H^{-T}CH^{-1}C′=H−TCH−1

H−1\rm H^{-1}H−1在方程中，所以二次曲线变换称为协变。

结论2 在点变换x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx下，对偶二次曲线C∗\rm C^*C∗变换为C′∗=HC∗HT\rm C^{\prime*}=HC^*H^{T}C′∗=HC∗HT

我们知道在前面博文讲述二次曲线和对偶二次曲线时，说过对偶二次曲线的方程为lTC∗l=0\rm l^TC^*l=0lTC∗l=0。

在点变换x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx下，我们得到l′=H−Tl\rm l^\prime=H^{-T}ll′=H−Tl，可以得到：

l=HTl′\rm l=H^Tl^\primel=HTl′

所以我们可以得到

lTC∗l=(HTl)TC∗HTl′=l′THC∗HTl′=l′TC′∗l′\begin{aligned}\rm l^TC^*l&=\rm (H^Tl)^TC^*H^Tl^\prime\\&=\rm l^{\prime T}HC^*H^Tl^\prime \\&=\rm l^{\prime T}C^{\prime*}l^\prime\end{aligned}lTC∗l=(HTl)TC∗HTl′=l′THC∗HTl′=l′TC′∗l′

所以C′∗=HC∗HT\rm C^{\prime*}=HC^*H^TC′∗=HC∗HT

博文内容总结和概览

知识

概念	定义
射影映射(保线变换，射影变换或单应(homography))	射影映射是把IP2{\rm IP}^2IP2到自身的一种满足下列条件的可逆映射hhh：三点x1,x2,x3{\rm x}_1,{\rm x}_2,{\rm x}_3x1,x2,x3共线当且仅当h(x1),h(x2),h(x3)h({\rm x}_1),h({\rm x}_2),h({\rm x}_3)h(x1),h(x2),h(x3)也共线。
射影变换另一定义	平面射影变换是关于齐次三维矢量的一种线性变换，并可用一个非奇异3×33\times 33×3矩阵H{\rm H}H表示为x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx
平面间映射	点对点映射且保持直线不变。若是两平面建立都是欧氏直角坐标系，则为透视映射。
消除透视失真	简单使用四个对应点关系求解出HHH,然后将逆变换应用到失真图像中以消除射影失真。
直线的变换	如果点xi{\rm x}_ixi位于线 l\rm ll 上，那么变换点x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx在射影变换下位于线l′=H−Tl\rm l^\prime=H^{-T}ll′=H−Tl或l′T=lTH−1\rm l^{\prime T}=l^TH^{-1}l′T=lTH−1。
二次曲线变换	在点变换x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx下，二次曲线C\rm CC变换为C′=H−TCH−1\rm C^\prime=H^{-T}CH^{-1}C′=H−TCH−1
对偶二次曲线变换	在点变换x′=Hx\rm x^\prime=Hxx′=Hx下，对偶二次曲线C∗\rm C^C∗变换为C′∗=HC∗HT\rm C^{\prime}=HC^*H^{T}C′∗=HC∗HT

定理

概念	内容
射影映射等价代数定义	映射h:IP2→IP3h:{\rm IP^2 \rightarrow IP^3}h:IP2→IP3是射影映射的充要条件是：存在一个3×33\times 33×3非奇异矩阵HHH,使得IP2{\rm IP}^2IP2的任何一个用矢量x\rm xx表示的点都满足h(x)=Hxh({\rm x})={\rm H}{\rm x}h(x)=Hx

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