搬砖篇--002 几何入门基础知识

几何入门基础知识

一、 ξ\xiξ 多边形内角和外角和
二、 ξ\xiξ 圆周角与圆心角
三、 ξ\xiξ 相似与全等三角形

一、 ξ\xiξ 多边形内角和外角和

1、观察下图所示，通过线性平移，可知 ∠1=∠\angle1= \angle∠1=∠b,∠2=∠\angle2= \angle∠2=∠a,∠3=∠\angle3= \angle∠3=∠c.易知∠\angle∠ a+∠b\angle b∠b+∠c\angle c∠c=∠4\angle4∠4=180°

可得结论：
a、三角形内角和为180°
b、三角形一外角等于其不相邻的两个内角和

2、如下图所示，正六边形依据其外接圆圆心分成6个三角形，通过线段平移可知，外角 ∠\angle∠a等于圆心角∠\angle∠b,同理，依次将六个外角通过平移相交于一点，可得正六边外角和为360°（同理可推论，正n边边形外角和为360°）。

推论：
当一个正n多边形，基于某一点分为n个三角形时，可得等式：n ×\times× 三角形内角和=例题图2中的各内角和+各圆心角和
简化可的n多边形内角和：n ×\times× 180°-360° ==>(n-2) ×\times× 180°
，因为n是代表n边的数值，n取值大于或等于3。

二、 ξ\xiξ 圆周角与圆心角

定义：圆周角是顶点在圆上的角；圆心角是顶点在圆心上的角
例题：已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC，∠ABC=90°.

**情景1：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时
∵\because∵ OA、OB、OC为圆半径
∴\therefore∴ OA=OB=OC，∠OAB=∠OBA
又∵\because∵∠COB是△AOB的外角
∴\therefore∴ ∠COB=2∠OBA=2∠OAB（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。）
同理可证：∵\because∵∠AOB=2∠OCB=2∠OBC
∴\therefore∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=12∠COB+12∠AOB=12(∠COB+∠AOB)=90°\frac{1}{2} ∠COB+\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}(∠COB+∠AOB)=90°21∠COB+21∠AOB=21(∠COB+∠AOB)=90°（半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。）

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时。
>∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
推论：
圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB
∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度
1、圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（互补角和为180°，互余角和为90°）(需要找对圆周角对应的圆心角)

三、 ξ\xiξ 相似与全等三角形

相似三角形：
**定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。）（AA）
定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。）（SAS）
定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。）（SSS）
定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。）
定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。）（HL）
定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
全等三角形（稳定唯一，不会有其他类图像三角）
定理1 ：SSS(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形。
定理2 ：SAS(边角边):两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
定理3 ：ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等。
定理4 ：AAS(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
定理5：(直角、斜边、边)(又称HL定理(斜边、直角边)):在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等

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