正交矩阵的保范性:正交变换不改变向量的长度(范数)

在推导使用SVD分解解方程时，用到了正交矩阵的保范性这一性质。

1、正交矩阵定义

A ⊺ \mathbf{A}^\intercal A⊺A=A A ⊺ \mathbf{A}^\intercal A⊺ = E

2、正交矩阵的保范性

正交矩阵对向量进行正交变换，且正交变换不改变向量的长度(范数)：
设X的正交变换为AX，则AX的范数为：

由此可见AX的范数与X的范数相等。

3、SVD求解方程中的应用

A的SVD分解：A=UDVT (T代表转置)
其中，U，V为正交矩阵。

(1)、用奇异值解超定方程Ax=b时，会用到求||Ax-b||最小值，||Ax-b||=||UDVTx-b||

接下来，||UDVT-b||=||DVTx-UTb||

上式正是应用了正交变换的保范性质
将向量UDVT-b左乘正交矩阵UT。

(2)、约束条件||x||=1的条件下，求使||Ax||最小的x。

设A=UDVT ，那么问题变成求||UDVTx||的最小值。
由正交矩阵的保范性：

||UDVTx||=||DVTx|| ，||x|| = ||VTx||

问题变成在约束条件IIVTxll=1下，求||DVTx||的最小值。
令y=VTx，则问题简化为
约束条件||y||=1下，求||Dy||的最小值

正交矩阵的保范性:正交变换不改变向量的长度(范数)相关推荐

正交变换不改变矩阵F-范数、2-范数的证明
一.两种范数的定义 1.1 F-范数 ∣∣A∣∣F=∑0≤i,j≤naij2||A||_F = \sqrt{\sum _{0\le i,j\le n}a_{ij} ^ 2} ∣∣A∣∣F=0≤i,j ...
向量概念，零向量，向量取反，计算向量的长度,单位向量
参考的是<游戏和图形学的3D数学入门教程>,非常不错的书,推荐阅读,老外很喜欢把一个东西解释的很详细. 1.向量概念: 具有方向和大小.没有位置观念.比如下图红圈圈中的两个向量是相同的,因 ...
Javascript如何改变数组的长度？
修改数组长度使用"数组名.length"可以获取或修改数组的长度.数组长度的计算方式为数组中元素的最大索引值加1,示例代码如下. var arr = ['a', 'b', 'c' ...
投影向量=投影长度乘以单位向量
得出结论长度乘以一个向量等于一个向量(投影长度乘以单位向量等于投影向量)
R语言向量vector数据类型元素索引、访问：使用length函数计算向量的长度、元素个数
R语言向量vector数据类型元素索引.访问:使用length函数计算向量的长度.元素个数目录 R语言向量vector数据类型元素索引.访问:使用length函数计算向量的长度.元素个数 R 语言特 ...
线性代数 --- 向量的长度
一个向量的长度的平方等于这个向量与这个向量自己的内积从代数的角度定义向量的长度: 正如我在另外一篇文章中(见本文底部的推荐链接)提到的,两个向量(这是默认是两个列向量)的内积,可以表示为也可以表示为 ...
R语言使用length函数计算向量的长度
R语言使用length函数计算向量的长度目录 R语言使用length函数计算向量的长度 R语言是解决什么问题的? R语言使用length函数计算向量的长度安利一个R语言的优秀博主及其CSDN专栏: ...
【矩阵求导】对于复向量l1-norm 1范数的求导
l1l_1l1-norm, 作为 l0l_0l0-norm 的最紧凸近似,在压缩感知中非常常用. 例如求解问题: argminxAx=bs.t.∣x∣0≤n\mathrm{argmin}_x Ax ...
centos删除文件夹_等保测评主机安全之centos密码长度
密码长度,作为等级保护主机测评项里中密码复杂度要求之一,是必须要查的. 在<等级测评师初级教程>里,对于密码长度的设置指向了/etc/login.defs里的PASS_MIN_LEN字段. ...

正交矩阵的保范性:正交变换不改变向量的长度(范数)

正交矩阵的保范性:正交变换不改变向量的长度(范数)相关推荐

最新文章

热门文章