cs231n课程笔记摘抄

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提出Nearest Neighbor分类器

L1距离（曼哈顿距离）：

$\displaystyle d_1(I_1,I_2)=\sum_p|I^p_1-I^p_2|$

L2距离（欧式距离）：

$\displaystyle d_2(I_1,I_2)=\sqrt{ \sum_p(I^p_1-I^p_2)^2}$

进而提出k-Nearest Neighbor分类器：与Nearest Neighbor分类器相比选择了最相似的k张图片的标签进行投票。

在进行相关训练和测试之后发现，仅仅使用L1和L2范数来进行像素比较是不够的，图像更多的是按照背景和颜色被分类，而不是语义主体本身。

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线性分类器：在本模型中，我们从最简单的概率函数开始，一个线性映射：

$\displaystyle f(x_i,W,b)=Wx_i+b$

假设每个图像数据都被拉长为一个长度为D的列向量，大小为[D x 1]。其中大小为[K x D]的矩阵W和大小为[K x 1]列向量b为该函数的参数（parameters）。

将线性分类器看做模板匹配：关于权重W的另一个解释是它的每一行对应着一个分类的模板（有时候也叫作原型）。一张图像对应不同分类的得分，是通过使用内积（也叫点积）来比较图像和模板，然后找到和哪个模板最相似。从这个角度来看，线性分类器就是在利用学习到的模板，针对图像做模板匹配。

必须提一下的属于是关于0的阀值： $max(0,-)$ 函数，它常被称为折叶损失（hinge loss）。有时候会听到人们使用平方折叶损失SVM（即L2-SVM），它使用的是 $max(0,-)^2$ ，将更强烈（平方地而不是线性地）地惩罚过界的边界值。

Softmax分类器函数映射 $f(x_i;W)=Wx_i$ 保持不变，但将这些评分值视为每个分类的未归一化的对数概率，并且将折叶损失（hinge loss）替换为交叉熵损失（cross-entropy loss）。

公式如下：

$\displaystyle Li=-log(\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum_je^{f_j}})$ 或等价的 $L_i=-f_{y_i}+log(\sum_je^{f_j})$

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计算梯度有两种方法：一个是缓慢的近似方法（数值梯度法），但实现相对简单。另一个方法（分析梯度法）计算迅速，结果精确，但是实现时容易出错，且需要使用微分。

步长的影响：梯度指明了函数在哪个方向是变化率最大的，但是没有指明在这个方向上应该走多远。在后续的课程中可以看到，选择步长（也叫作学习率）将会是神经网络训练中最重要（也是最头痛）的超参数设定之一。

第二个梯度计算方法是利用微分来分析，能得到计算梯度的公式（不是近似），用公式计算梯度速度很快，唯一不好的就是实现的时候容易出错。为了解决这个问题，在实际操作时常常将分析梯度法的结果和数值梯度法的结果作比较，以此来检查其实现的正确性，这个步骤叫做梯度检查。

小批量数据梯度下降（Mini-batch gradient descent）：在大规模的应用中（比如ILSVRC挑战赛），训练数据可以达到百万级量级。如果像这样计算整个训练集，来获得仅仅一个参数的更新就太浪费了。一个常用的方法是计算训练集中的小批量（batches）数据。

小批量数据策略有个极端情况，那就是每个批量中只有1个数据样本，这种策略被称为随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent 简称SGD），有时候也被称为在线梯度下降。

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这节的核心问题是：给定函数 $f(x)$ ，其中 $x$ 是输入数据的向量，需要计算函数 $f$ 关于 $x$ 的梯度，也就是 $\nabla f(x)$ 。

sigmoid函数关于其输入的求导是可以简化的(使用了在分子上先加后减1的技巧)：
$\displaystyle\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$
$\displaystyle\to\frac{d\sigma(x)}{dx}=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=(\frac{1+e^{-x}-1}{1+e^{-x}})(\frac{1}{1+e^{-x}})=(1-\sigma(x))\sigma(x)$

在不同分支的梯度要相加：如果变量x，y在前向传播的表达式中出现多次，那么进行反向传播的时候就要非常小心，使用+=而不是=来累计这些变量的梯度（不然就会造成覆写）。这是遵循了在微积分中的多元链式法则，该法则指出如果变量在线路中分支走向不同的部分，那么梯度在回传的时候，就应该进行累加。

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在线性分类一节中，在给出图像的情况下，是使用 $s=Wx$ 来计算不同视觉类别的评分

神经网络算法则不同，它的计算公式是 $s=W_2max(0,W_1x)$ 。其中 $W_1$ 的含义是这样的：举个例子来说，它可以是一个[100x3072]的矩阵，其作用是将图像转化为一个100维的过渡向量。函数 $max(0,-)$ 是非线性的，它会作用到每个元素。这个非线性函数有多种选择，后续将会学到。注意非线性函数在计算上是至关重要的，如果略去这一步，那么两个矩阵将会合二为一，对于分类的评分计算将重新变成关于输入的线性函数。这个非线性函数就是改变的关键点。

Sigmoid。sigmoid非线性函数的数学公式是 $\displaystyle\sigma(x)=1/(1+e^{-x})$ ，函数图像如上图的左边所示。在前一节中已经提到过，它输入实数值并将其“挤压”到0到1范围内。更具体地说，很大的负数变成0，很大的正数变成1。在历史上，sigmoid函数非常常用，这是因为它对于神经元的激活频率有良好的解释：从完全不激活（0）到在求和后的最大频率处的完全饱和（saturated）的激活（1）。然而现在sigmoid函数已经不太受欢迎，实际很少使用了，这是因为它有两个主要缺点：

Sigmoid函数饱和使梯度消失。sigmoid神经元有一个不好的特性，就是当神经元的激活在接近0或1处时会饱和：在这些区域，梯度几乎为0。回忆一下，在反向传播的时候，这个（局部）梯度将会与整个损失函数关于该门单元输出的梯度相乘。因此，如果局部梯度非常小，那么相乘的结果也会接近零，这会有效地“杀死”梯度，几乎就有没有信号通过神经元传到权重再到数据了。还有，为了防止饱和，必须对于权重矩阵初始化特别留意。比如，如果初始化权重过大，那么大多数神经元将会饱和，导致网络就几乎不学习了。
Sigmoid函数的输出不是零中心的。这个性质并不是我们想要的，因为在神经网络后面层中的神经元得到的数据将不是零中心的。这一情况将影响梯度下降的运作，因为如果输入神经元的数据总是正数（比如在 $f=w^Tx+b$ 中每个元素都 $x>0$ ），那么关于 $w$ 的梯度在反向传播的过程中，将会要么全部是正数，要么全部是负数（具体依整个表达式 $f$ 而定）。这将会导致梯度下降权重更新时出现z字型的下降。然而，可以看到整个批量的数据的梯度被加起来后，对于权重的最终更新将会有不同的正负，这样就从一定程度上减轻了这个问题。因此，该问题相对于上面的神经元饱和问题来说只是个小麻烦，没有那么严重。

Tanh。tanh非线性函数图像如上图右边所示。它将实数值压缩到[-1,1]之间。和sigmoid神经元一样，它也存在饱和问题，但是和sigmoid神经元不同的是，它的输出是零中心的。因此，在实际操作中，tanh非线性函数比sigmoid非线性函数更受欢迎。注意tanh神经元是一个简单放大的sigmoid神经元，具体说来就是： $tanh(x)=2\sigma(2x)-1$ 。

ReLU。在近些年ReLU变得非常流行。它的函数公式是 $f(x)=max(0,x)$ 。换句话说，这个激活函数就是一个关于0的阈值（如上图左侧）。使用ReLU有以下一些优缺点：

优点：相较于sigmoid和tanh函数，ReLU对于随机梯度下降的收敛有巨大的加速作用（ Krizhevsky 等的论文指出有6倍之多）。据称这是由它的线性，非饱和的公式导致的。
优点：sigmoid和tanh神经元含有指数运算等耗费计算资源的操作，而ReLU可以简单地通过对一个矩阵进行阈值计算得到。
缺点：在训练的时候，ReLU单元比较脆弱并且可能“死掉”。举例来说，当一个很大的梯度流过ReLU的神经元的时候，可能会导致梯度更新到一种特别的状态，在这种状态下神经元将无法被其他任何数据点再次激活。如果这种情况发生，那么从此所以流过这个神经元的梯度将都变成0。也就是说，这个ReLU单元在训练中将不可逆转的死亡，因为这导致了数据多样化的丢失。例如，如果学习率设置得太高，可能会发现网络中40%的神经元都会死掉（在整个训练集中这些神经元都不会被激活）。通过合理设置学习率，这种情况的发生概率会降低。

Leaky ReLU。Leaky ReLU是为解决“ReLU死亡”问题的尝试。ReLU中当x<0时，函数值为0。而Leaky ReLU则是给出一个很小的负数梯度值，比如0.01。所以其函数公式为 $f(x)=1(x<0)(\alpha x)+1(x>=0)(x)$ 其中 $\alpha$ 是一个小的常量。有些研究者的论文指出这个激活函数表现很不错，但是其效果并不是很稳定。Kaiming He等人在2015年发布的论文Delving Deep into Rectifiers中介绍了一种新方法PReLU，把负区间上的斜率当做每个神经元中的一个参数。然而该激活函数在在不同任务中均有益处的一致性并没有特别清晰。

Maxout。一些其他类型的单元被提了出来，它们对于权重和数据的内积结果不再使用 $f(w^Tx+b)$ 函数形式。一个相关的流行选择是Maxout（最近由Goodfellow等发布）神经元。Maxout是对ReLU和leaky ReLU的一般化归纳，它的函数是： $max(w^T_1x+b_1,w^T_2x+b_2)$ 。ReLU和Leaky ReLU都是这个公式的特殊情况（比如ReLU就是当 $w_1,b_1=0$ 的时候）。这样Maxout神经元就拥有ReLU单元的所有优点（线性操作和不饱和），而没有它的缺点（死亡的ReLU单元）。然而和ReLU对比，它每个神经元的参数数量增加了一倍，这就导致整体参数的数量激增。

一句话：“那么该用那种呢？”用ReLU非线性函数。注意设置好学习率，或许可以监控你的网络中死亡的神经元占的比例。如果单元死亡问题困扰你，就试试Leaky ReLU或者Maxout，不要再用sigmoid了。也可以试试tanh，但是其效果应该不如ReLU或者Maxout。

（下）

命名规则。当我们说N层神经网络的时候，我们没有把输入层算入。因此，单层的神经网络就是没有隐层的（输入直接映射到输出）。因此，有的研究者会说逻辑回归或者SVM只是单层神经网络的一个特例。研究者们也会使用人工神经网络（Artificial NeuralNetworks 缩写ANN）或者多层感知器（Multi-Layer Perceptrons 缩写MLP）来指代神经网络。很多研究者并不喜欢神经网络算法和人类大脑之间的类比，他们更倾向于用单元（unit）而不是神经元作为术语。

拥有至少一个隐层的神经网络是一个通用的近似器。

在实践中3层的神经网络会比2层的表现好，然而继续加深（做到4，5，6层）很少有太大帮助。卷积神经网络的情况却不同，在卷积神经网络中，对于一个良好的识别系统来说，深度是一个极端重要的因素（比如数十(以10为量级)个可学习的层）。对于该现象的一种解释观点是：因为图像拥有层次化结构（比如脸是由眼睛等组成，眼睛又是由边缘组成），所以多层处理对于这种数据就有直观意义。

可以看见有更多神经元的神经网络可以表达更复杂的函数。然而这既是优势也是不足，优势是可以分类更复杂的数据，不足是可能造成对训练数据的过拟合。过拟合（Overfitting）是网络对数据中的噪声有很强的拟合能力，而没有重视数据间（假设）的潜在基本关系。在实际中，这样可以在测试数据中获得更好的泛化（generalization）能力。

防止神经网络的过拟合有很多方法（L2正则化，dropout和输入噪音等）

不要减少网络神经元数目的主要原因在于小网络更难使用梯度下降等局部方法来进行训练：虽然小型网络的损失函数的局部极小值更少，也比较容易收敛到这些局部极小值，但是这些最小值一般都很差，损失值很高。相反，大网络拥有更多的局部极小值，但就实际损失值来看，这些局部极小值表现更好，损失更小。因为神经网络是非凸的，就很难从数学上研究这些特性。

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均值减法（Mean subtraction）是预处理最常用的形式。它对数据中每个独立特征减去平均值，从几何上可以理解为在每个维度上都将数据云的中心都迁移到原点。在numpy中，该操作可以通过代码X -= np.mean(X, axis=0)实现。而对于图像，更常用的是对所有像素都减去一个值，可以用X -= np.mean(X)实现，也可以在3个颜色通道上分别操作。

归一化（Normalization）是指将数据的所有维度都归一化，使其数值范围都近似相等。有两种常用方法可以实现归一化。第一种是先对数据做零中心化（zero-centered）处理，然后每个维度都除以其标准差，实现代码为X /= np.std(X, axis=0)。第二种方法是对每个维度都做归一化，使得每个维度的最大和最小值是1和-1。这个预处理操作只有在确信不同的输入特征有不同的数值范围（或计量单位）时才有意义，但要注意预处理操作的重要性几乎等同于学习算法本身。在图像处理中，由于像素的数值范围几乎是一致的（都在0-255之间），所以进行这个额外的预处理步骤并不是很必要。

PCA和白化（Whitening）是另一种预处理形式。在这种处理中，先对数据进行零中心化处理，然后计算协方差矩阵，它展示了数据中的相关性结构。

常见错误。进行预处理很重要的一点是：任何预处理策略（比如数据均值）都只能在训练集数据上进行计算，算法训练完毕后再应用到验证集或者测试集上。例如，如果先计算整个数据集图像的平均值然后每张图片都减去平均值，最后将整个数据集分成训练/验证/测试集，那么这个做法是错误的。应该怎么做呢？应该先分成训练/验证/测试集，只是从训练集中求图片平均值，然后各个集（训练/验证/测试集）中的图像再减去这个平均值。

错误：全零初始化。让我们从应该避免的错误开始。在训练完毕后，虽然不知道网络中每个权重的最终值应该是多少，但如果数据经过了恰当的归一化的话，就可以假设所有权重数值中大约一半为正数，一半为负数。这样，一个听起来蛮合理的想法就是把这些权重的初始值都设为0吧，因为在期望上来说0是最合理的猜测。这个做法错误的！因为如果网络中的每个神经元都计算出同样的输出，然后它们就会在反向传播中计算出同样的梯度，从而进行同样的参数更新。换句话说，如果权重被初始化为同样的值，神经元之间就失去了不对称性的源头。

小随机数初始化。因此，权重初始值要非常接近0又不能等于0。解决方法就是将权重初始化为很小的数值，以此来打破对称性。其思路是：如果神经元刚开始的时候是随机且不相等的，那么它们将计算出不同的更新，并将自身变成整个网络的不同部分。小随机数权重初始化的实现方法是：W = 0.01 * np.random.randn(D,H)。其中randn函数是基于零均值和标准差的一个高斯分布（译者注：国内教程一般习惯称均值参数为期望 $\mu$ ）来生成随机数的。根据这个式子，每个神经元的权重向量都被初始化为一个随机向量，而这些随机向量又服从一个多变量高斯分布，这样在输入空间中，所有的神经元的指向是随机的。也可以使用均匀分布生成的随机数，但是从实践结果来看，对于算法的结果影响极小。

使用1/sqrt(n)校准方差。上面做法存在一个问题，随着输入数据量的增长，随机初始化的神经元的输出数据的分布中的方差也在增大。我们可以除以输入数据量的平方根来调整其数值范围，这样神经元输出的方差就归一化到1了。也就是说，建议将神经元的权重向量初始化为：w = np.random.randn(n) / sqrt(n)。其中n是输入数据的数量。这样就保证了网络中所有神经元起始时有近似同样的输出分布。实践经验证明，这样做可以提高收敛的速度。

偏置（biases）的初始化。通常将偏置初始化为0，这是因为随机小数值权重矩阵已经打破了对称性。对于ReLU非线性激活函数，有研究人员喜欢使用如0.01这样的小数值常量作为所有偏置的初始值，这是因为他们认为这样做能让所有的ReLU单元一开始就激活，这样就能保存并传播一些梯度。然而，这样做是不是总是能提高算法性能并不清楚（有时候实验结果反而显示性能更差），所以通常还是使用0来初始化偏置参数。

批量归一化（Batch Normalization）。批量归一化是loffe和Szegedy最近才提出的方法，该方法减轻了如何合理初始化神经网络这个棘手问题带来的头痛：），其做法是让激活数据在训练开始前通过一个网络，网络处理数据使其服从标准高斯分布。因为归一化是一个简单可求导的操作，所以上述思路是可行的。在实现层面，应用这个技巧通常意味着全连接层（或者是卷积层，后续会讲）与激活函数之间添加一个BatchNorm层。In one word。批量归一化可以理解为在网络的每一层之前都做预处理，只是这种操作以另一种方式与网络集成在了一起。搞定！

正则化（regularization）

有不少方法是通过控制神经网络的容量来防止其过拟合的：

L2正则化可能是最常用的正则化方法了。可以通过惩罚目标函数中所有参数的平方将其实现。即对于网络中的每个权重 $w$ ，向目标函数中增加一个 $\frac{1}{2}\lambda w^2$ ，其中 $\lambda$ 是正则化强度。前面这个 $\frac{1}{2}$ 很常见，是因为加上 $\frac{1}{2}$ 后，该式子关于 $w$ 梯度就是 $\lambda w$ 而不是 $2\lambda w$ 了。L2正则化可以直观理解为它对于大数值的权重向量进行严厉惩罚，倾向于更加分散的权重向量。最后需要注意在梯度下降和参数更新的时候，使用L2正则化意味着所有的权重都以w += -lambda * W向着0线性下降。

L1正则化是另一个相对常用的正则化方法。对于每个 $w$ 我们都向目标函数增加一个 $\lambda|w|$ 。L1和L2正则化也可以进行组合： $\lambda_1|w|+\lambda_2w^2$ ，这也被称作Elastic net regularizaton。L1正则化有一个有趣的性质，它会让权重向量在最优化的过程中变得稀疏（即非常接近0）。也就是说，使用L1正则化的神经元最后使用的是它们最重要的输入数据的稀疏子集，同时对于噪音输入则几乎是不变的了。相较L1正则化，L2正则化中的权重向量大多是分散的小数字。在实践中，如果不是特别关注某些明确的特征选择，一般说来L2正则化都会比L1正则化效果好。

最大范式约束（Max norm constraints）。另一种形式的正则化是给每个神经元中权重向量的量级设定上限，并使用投影梯度下降来确保这一约束。在实践中，与之对应的是参数更新方式不变，然后要求神经元中的权重向量 $\overrightarrow{w}$ 必须满足 $||\overrightarrow{w}||_2<c$ 这一条件，一般 $c$ 值为3或者4。有研究者发文称在使用这种正则化方法时效果更好。这种正则化还有一个良好的性质，即使在学习率设置过高的时候，网络中也不会出现数值“爆炸”，这是因为它的参数更新始终是被限制着的。

随机失活（Dropout）是一个简单又极其有效的正则化方法。该方法由Srivastava在论文Dropout: A Simple Way to Prevent Neural Networks from Overfitting中提出的，与L1正则化，L2正则化和最大范式约束等方法互为补充。在训练的时候，随机失活的实现方法是让神经元以超参数 $p$ 的概率被激活或者被设置为0。

上述操作不好的性质是必须在测试时对激活数据要按照 $p$ 进行数值范围调整。既然测试性能如此关键，实际更倾向使用反向随机失活（inverted dropout），它是在训练时就进行数值范围调整，从而让前向传播在测试时保持不变。这样做还有一个好处，无论你决定是否使用随机失活，预测方法的代码可以保持不变。

损失函数

损失函数的第二个部分是数据损失，它是一个有监督学习问题，用于衡量分类算法的预测结果（即分类评分）和真实标签结果之间的一致性。数据损失是对所有样本的数据损失求平均。

一个最常见的损失函数就是SVM（是Weston Watkins 公式）：

$\displaystyle L_i=\sum_{j\not=y_i}max(0,f_j-f_{y_i}+1)$

之前简要提起过，有些学者的论文中指出平方折叶损失（即使用 $max(0,f_j-f_{y_i}+1)^2$ ）算法的结果会更好。第二个常用的损失函数是Softmax分类器，它使用交叉熵损失：

$\displaystyle L_i=-log(\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum_je^{f_j}})$

回归问题是预测实数的值的问题，比如预测房价，预测图片中某个东西的长度等。对于这种问题，通常是计算预测值和真实值之间的损失。然后用L2平方范式或L1范式度量差异。对于某个样本，L2范式计算如下：
$L_i=||f-y_i||^2_2$

之所以在目标函数中要进行平方，是因为梯度算起来更加简单。因为平方是一个单调运算，所以不用改变最优参数。L1范式则是要将每个维度上的绝对值加起来：

$L_i=||f-y_i||_1=\sum_j|f_j-(y_i)_j|$

小结如下：

推荐的预处理操作是对数据的每个特征都进行零中心化，然后将其数值范围都归一化到[-1,1]范围之内。
使用标准差为 $\sqrt{2/n}$ 的高斯分布来初始化权重，其中 $n$ 是输入的神经元数。例如用numpy可以写作：w = np.random.randn(n) * sqrt(2.0/n)。
使用L2正则化和随机失活的倒置版本。
使用批量归一化。
讨论了在实践中可能要面对的不同任务，以及每个任务对应的常用损失函数。

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梯度检查

使用中心化公式。在使用有限差值近似来计算数值梯度的时候，常见的公式是：

$\displaystyle \frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}(bad,\ do\ not\ use)$

其中 $h$ 是一个很小的数字，在实践中近似为1e-5。在实践中证明，使用中心化公式效果更好：

$\displaystyle \frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}(use\ instead)$

合理性检查

寻找特定情况的正确损失值。在使用小参数进行初始化时，确保得到的损失值与期望一致。最好先单独检查数据损失（让正则化强度为0）。例如，对于一个跑CIFAR-10的Softmax分类器，一般期望它的初始损失值是2.302，这是因为初始时预计每个类别的概率是0.1（因为有10个类别），然后Softmax损失值正确分类的负对数概率：-ln(0.1)=2.302。对于Weston Watkins SVM，假设所有的边界都被越过（因为所有的分值都近似为零），所以损失值是9（因为对于每个错误分类，边界值是1）。如果没看到这些损失值，那么初始化中就可能有问题。
第二个合理性检查：提高正则化强度时导致损失值变大。
对小数据子集过拟合。最后也是最重要的一步，在整个数据集进行训练之前，尝试在一个很小的数据集上进行训练（比如20个数据），然后确保能到达0的损失值。进行这个实验的时候，最好让正则化强度为0，不然它会阻止得到0的损失。除非能通过这一个正常性检查，不然进行整个数据集训练是没有意义的。但是注意，能对小数据集进行过拟合并不代表万事大吉，依然有可能存在不正确的实现。比如，因为某些错误，数据点的特征是随机的，这样算法也可能对小数据进行过拟合，但是在整个数据集上跑算法的时候，就没有任何泛化能力。

损失函数

训练期间第一个要跟踪的数值就是损失值，它在前向传播时对每个独立的批数据进行计算。

训练集和验证集准确率
在训练分类器的时候，需要跟踪的第二重要的数值是验证集和训练集的准确率。

权重更新比例

最后一个应该跟踪的量是权重中更新值的数量和全部值的数量之间的比例。注意：是更新的，而不是原始梯度（比如，在普通sgd中就是梯度乘以学习率）。需要对每个参数集的更新比例进行单独的计算和跟踪。一个经验性的结论是这个比例应该在1e-3左右。如果更低，说明学习率可能太小，如果更高，说明学习率可能太高。

随机梯度下降及各种更新方法

动量（Momentum）更新是另一个方法，这个方法在深度网络上几乎总能得到更好的收敛速度。该方法可以看成是从物理角度上对于最优化问题得到的启发。损失值可以理解为是山的高度（因此高度势能是 $U=mgh$ ，所以有 $U\propto h$ ）。用随机数字初始化参数等同于在某个位置给质点设定初始速度为0。这样最优化过程可以看做是模拟参数向量（即质点）在地形上滚动的过程。

Nesterov动量与普通动量有些许不同，最近变得比较流行。在理论上对于凸函数它能得到更好的收敛，在实践中也确实比标准动量表现更好一些。

学习率退火

如果学习率很高，系统的动能就过大，参数向量就会无规律地跳动，不能够稳定到损失函数更深更窄的部分去。

随步数衰减：每进行几个周期就根据一些因素降低学习率。典型的值是每过5个周期就将学习率减少一半，或者每20个周期减少到之前的0.1。这些数值的设定是严重依赖具体问题和模型的选择的。在实践中可能看见这么一种经验做法：使用一个固定的学习率来进行训练的同时观察验证集错误率，每当验证集错误率停止下降，就乘以一个常数（比如0.5）来降低学习率。
指数衰减。数学公式是 $\alpha=\alpha_0e^{-kt}$ ，其中 $\alpha_0,k$ 是超参数， $t$ 是迭代次数（也可以使用周期作为单位）。
1/t衰减的数学公式是 $\alpha=\alpha_0/(1+kt)$ ，其中 $\alpha_0,k$ 是超参数，t是迭代次数。

二阶方法

第二类常用的最优化方法是基于牛顿法的，其迭代如下：
$\displaystyle x\leftarrow x-[Hf(x)]^{-1}\nabla f(x)$

这里 $Hf(x)$ 是Hessian矩阵，它是函数的二阶偏导数的平方矩阵。 $\nabla f(x)$ 是梯度向量，这和梯度下降中一样。直观理解上，Hessian矩阵描述了损失函数的局部曲率，从而使得可以进行更高效的参数更新。具体来说，就是乘以Hessian转置矩阵可以让最优化过程在曲率小的时候大步前进，在曲率大的时候小步前进。需要重点注意的是，在这个公式中是没有学习率这个超参数的，这相较于一阶方法是一个巨大的优势。

逐参数适应学习率方法
Adagrad是一个由Duchi等提出的适应性学习率算法

Adagrad的一个缺点是，在深度学习中单调的学习率被证明通常过于激进且过早停止学习。

RMSprop。是一个非常高效，但没有公开发表的适应性学习率方法。有趣的是，每个使用这个方法的人在他们的论文中都引用自Geoff Hinton的Coursera课程的第六课的第29页PPT。这个方法用一种很简单的方式修改了Adagrad方法，让它不那么激进，单调地降低了学习率。具体说来，就是它使用了一个梯度平方的滑动平均

超参数调优

神经网络最常用的设置有：

初始学习率。
学习率衰减方式（例如一个衰减常量）。
正则化强度（L2惩罚，随机失活强度）。

比起交叉验证最好使用一个验证集。

模型集成

行集成有以下几种方法：

同一个模型，不同的初始化。使用交叉验证来得到最好的超参数，然后用最好的参数来训练不同初始化条件的模型。这种方法的风险在于多样性只来自于不同的初始化条件。
在交叉验证中发现最好的模型。使用交叉验证来得到最好的超参数，然后取其中最好的几个（比如10个）模型来进行集成。这样就提高了集成的多样性，但风险在于可能会包含不够理想的模型。在实际操作中，这样操作起来比较简单，在交叉验证后就不需要额外的训练了。
一个模型设置多个记录点。如果训练非常耗时，那就在不同的训练时间对网络留下记录点（比如每个周期结束），然后用它们来进行模型集成。很显然，这样做多样性不足，但是在实践中效果还是不错的，这种方法的优势是代价比较小。
在训练的时候跑参数的平均值。和上面一点相关的，还有一个也能得到1-2个百分点的提升的小代价方法，这个方法就是在训练过程中，如果损失值相较于前一次权重出现指数下降时，就在内存中对网络的权重进行一个备份。这样你就对前几次循环中的网络状态进行了平均。你会发现这个“平滑”过的版本的权重总是能得到更少的误差。直观的理解就是目标函数是一个碗状的，你的网络在这个周围跳跃，所以对它们平均一下，就更可能跳到中心去。

总结

训练一个神经网络需要：

利用小批量数据对实现进行梯度检查，还要注意各种错误。
进行合理性检查，确认初始损失值是合理的，在小数据集上能得到100%的准确率。
在训练时，跟踪损失函数值，训练集和验证集准确率，如果愿意，还可以跟踪更新的参数量相对于总参数量的比例（一般在1e-3左右），然后如果是对于卷积神经网络，可以将第一层的权重可视化。
推荐的两个更新方法是SGD+Nesterov动量方法，或者Adam方法。
随着训练进行学习率衰减。比如，在固定多少个周期后让学习率减半，或者当验证集准确率下降的时候。
使用随机搜索（不要用网格搜索）来搜索最优的超参数。分阶段从粗（比较宽的超参数范围训练1-5个周期）到细（窄范围训练很多个周期）地来搜索。
进行模型集成来获得额外的性能提高。

卷积神经网络（CNNs / ConvNets）

卷积神经网络和上一章讲的常规神经网络非常相似：它们都是由神经元组成，神经元中有具有学习能力的权重和偏差。每个神经元都得到一些输入数据，进行内积运算后再进行激活函数运算。整个网络依旧是一个可导的评分函数：该函数的输入是原始的图像像素，输出是不同类别的评分。在最后一层（往往是全连接层），网络依旧有一个损失函数（比如SVM或Softmax），并且在神经网络中我们实现的各种技巧和要点依旧适用于卷积神经网络。

神经元的三维排列 。与常规神经网络不同，卷积神经网络的各层中的神经元是3维排列的：宽度、高度和深度（这里的深度指的是激活数据体的第三个维度，而不是整个网络的深度，整个网络的深度指的是网络的层数）。

用来构建卷积网络的各种层

卷积神经网络主要由三种类型的层构成：卷积层，汇聚（Pooling）层和全连接层（全连接层和常规神经网络中的一样）。

网络结构例子：这仅仅是个概述，下面会更详解的介绍细节。一个用于CIFAR-10图像数据分类的卷积神经网络的结构可以是[输入层-卷积层-ReLU层-汇聚层-全连接层]。细节如下：

输入[32x32x3]存有图像的原始像素值，本例中图像宽高均为32，有3个颜色通道。
卷积层中，神经元与输入层中的一个局部区域相连，每个神经元都计算自己与输入层相连的小区域与自己权重的内积。卷积层会计算所有神经元的输出。如果我们使用12个滤波器（也叫作核），得到的输出数据体的维度就是[32x32x12]。
ReLU层将会逐个元素地进行激活函数操作，比如使用以0为阈值的 $max(0,x)$ 作为激活函数。该层对数据尺寸没有改变，还是[32x32x12]。
汇聚层在在空间维度（宽度和高度）上进行降采样（downsampling）操作，数据尺寸变为[16x16x12]。
全连接层将会计算分类评分，数据尺寸变为[1x1x10]，其中10个数字对应的就是CIFAR-10中10个类别的分类评分值。正如其名，全连接层与常规神经网络一样，其中每个神经元都与前一层中所有神经元相连接。

小结：

简单案例中卷积神经网络的结构，就是一系列的层将输入数据变换为输出数据（比如分类评分）。
卷积神经网络结构中有几种不同类型的层（目前最流行的有卷积层、全连接层、ReLU层和汇聚层）。
每个层的输入是3D数据，然后使用一个可导的函数将其变换为3D的输出数据。
有的层有参数，有的没有（卷积层和全连接层有，ReLU层和汇聚层没有）。
有的层有额外的超参数，有的没有（卷积层、全连接层和汇聚层有，ReLU层没有）。

卷积层

卷积层是构建卷积神经网络的核心层，它产生了网络中大部分的计算量。

概述和直观介绍：首先讨论的是，在没有大脑和生物意义上的神经元之类的比喻下，卷积层到底在计算什么。卷积层的参数是有一些可学习的滤波器集合构成的。每个滤波器在空间上（宽度和高度）都比较小，但是深度和输入数据一致。举例来说，卷积神经网络第一层的一个典型的滤波器的尺寸可以是5x5x3（宽高都是5像素，深度是3是因为图像应为颜色通道，所以有3的深度）。在前向传播的时候，让每个滤波器都在输入数据的宽度和高度上滑动（更精确地说是卷积），然后计算整个滤波器和输入数据任一处的内积。当滤波器沿着输入数据的宽度和高度滑过后，会生成一个2维的激活图（activation map），激活图给出了在每个空间位置处滤波器的反应。直观地来说，网络会让滤波器学习到当它看到某些类型的视觉特征时就激活，具体的视觉特征可能是某些方位上的边界，或者在第一层上某些颜色的斑点，甚至可以是网络更高层上的蜂巢状或者车轮状图案。

局部连接：在处理图像这样的高维度输入时，让每个神经元都与前一层中的所有神经元进行全连接是不现实的。相反，我们让每个神经元只与输入数据的一个局部区域连接。该连接的空间大小叫做神经元的感受野（receptive field），它的尺寸是一个超参数（其实就是滤波器的空间尺寸）。在深度方向上，这个连接的大小总是和输入量的深度相等。需要再次强调的是，我们对待空间维度（宽和高）与深度维度是不同的：连接在空间（宽高）上是局部的，但是在深度上总是和输入数据的深度一致。

空间排列：上文讲解了卷积层中每个神经元与输入数据体之间的连接方式，但是尚未讨论输出数据体中神经元的数量，以及它们的排列方式。3个超参数控制着输出数据体的尺寸：深度（depth），步长（stride）和零填充（zero-padding）。下面是对它们的讨论：

首先，输出数据体的深度是一个超参数：它和使用的滤波器的数量一致，而每个滤波器在输入数据中寻找一些不同的东西。举例来说，如果第一个卷积层的输入是原始图像，那么在深度维度上的不同神经元将可能被不同方向的边界，或者是颜色斑点激活。我们将这些沿着深度方向排列、感受野相同的神经元集合称为深度列（depth column），也有人使用纤维（fibre）来称呼它们。
其次，在滑动滤波器的时候，必须指定步长。当步长为1，滤波器每次移动1个像素。当步长为2（或者不常用的3，或者更多，这些在实际中很少使用），滤波器滑动时每次移动2个像素。这个操作会让输出数据体在空间上变小。
在下文可以看到，有时候将输入数据体用0在边缘处进行填充是很方便的。这个零填充（zero-padding）的尺寸是一个超参数。零填充有一个良好性质，即可以控制输出数据体的空间尺寸（最常用的是用来保持输入数据体在空间上的尺寸，这样输入和输出的宽高都相等）。

参数共享：在卷积层中使用参数共享是用来控制参数的数量。就用上面的例子，在第一个卷积层就有55x55x96=290,400个神经元，每个有11x11x3=364个参数和1个偏差。将这些合起来就是290400x364=105,705,600个参数。单单第一层就有这么多参数，显然这个数目是非常大的。

作一个合理的假设：如果一个特征在计算某个空间位置(x,y)的时候有用，那么它在计算另一个不同位置(x2,y2)的时候也有用。基于这个假设，可以显著地减少参数数量。换言之，就是将深度维度上一个单独的2维切片看做深度切片（depth slice），比如一个数据体尺寸为[55x55x96]的就有96个深度切片，每个尺寸为[55x55]。在每个深度切片上的神经元都使用同样的权重和偏差。在这样的参数共享下，例子中的第一个卷积层就只有96个不同的权重集了，一个权重集对应一个深度切片，共有96x11x11x3=34,848个不同的权重，或34,944个参数（+96个偏差）。在每个深度切片中的55x55个权重使用的都是同样的参数。在反向传播的时候，都要计算每个神经元对它的权重的梯度，但是需要把同一个深度切片上的所有神经元对权重的梯度累加，这样就得到了对共享权重的梯度。这样，每个切片只更新一个权重集。

注意，如果在一个深度切片中的所有权重都使用同一个权重向量，那么卷积层的前向传播在每个深度切片中可以看做是在计算神经元权重和输入数据体的卷积（这就是“卷积层”名字由来）。这也是为什么总是将这些权重集合称为滤波器（filter）（或卷积核（kernel）），因为它们和输入进行了卷积。

用矩阵乘法实现：卷积运算本质上就是在滤波器和输入数据的局部区域间做点积。卷积层的常用实现方式就是利用这一点，将卷积层的前向传播变成一个巨大的矩阵乘法

汇聚层

通常，在连续的卷积层之间会周期性地插入一个汇聚层。它的作用是逐渐降低数据体的空间尺寸，这样的话就能减少网络中参数的数量，使得计算资源耗费变少，也能有效控制过拟合。汇聚层使用MAX操作，对输入数据体的每一个深度切片独立进行操作，改变它的空间尺寸。最常见的形式是汇聚层使用尺寸2x2的滤波器，以步长为2来对每个深度切片进行降采样，将其中75%的激活信息都丢掉。每个MAX操作是从4个数字中取最大值（也就是在深度切片中某个2x2的区域）。深度保持不变。汇聚层的一些公式：

输入数据体尺寸 $W_1\cdot H_1\cdot D_1$
有两个超参数：
- 空间大小 $F$
- 步长 $S$
输出数据体尺寸 $W_2\cdot H_2\cdot D_2$ ，其中

$W_2=(W_1-F)/S+1$

$H_2=(H_1-F)/S+1$

$D_2=D_1$

因为对输入进行的是固定函数计算，所以没有引入参数
在汇聚层中很少使用零填充

在实践中，最大汇聚层通常只有两种形式：一种是 $F=3,S=2$ ，也叫重叠汇聚（overlapping pooling），另一个更常用的是 $F=2,S=2$ 。对更大感受野进行汇聚需要的汇聚尺寸也更大，而且往往对网络有破坏性。

普通汇聚（General Pooling）：除了最大汇聚，汇聚单元还可以使用其他的函数，比如平均汇聚（average pooling）或L-2范式汇聚（L2-norm pooling）。平均汇聚历史上比较常用，但是现在已经很少使用了。因为实践证明，最大汇聚的效果比平均汇聚要好。

不使用汇聚层：很多人不喜欢汇聚操作，认为可以不使用它。比如在Striving for Simplicity: The All Convolutional Net一文中，提出使用一种只有重复的卷积层组成的结构，抛弃汇聚层。通过在卷积层中使用更大的步长来降低数据体的尺寸。有发现认为，在训练一个良好的生成模型时，弃用汇聚层也是很重要的。比如变化自编码器（VAEs：variational autoencoders）和生成性对抗网络（GANs：generative adversarial networks）。现在看起来，未来的卷积网络结构中，可能会很少使用甚至不使用汇聚层。

把全连接层转化成卷积层

全连接层和卷积层之间唯一的不同就是卷积层中的神经元只与输入数据中的一个局部区域连接，并且在卷积列中的神经元共享参数。然而在两类层中，神经元都是计算点积，所以它们的函数形式是一样的。因此，将此两者相互转化是可能的：

对于任一个卷积层，都存在一个能实现和它一样的前向传播函数的全连接层。权重矩阵是一个巨大的矩阵，除了某些特定块（这是因为有局部连接），其余部分都是零。而在其中大部分块中，元素都是相等的（因为参数共享）。
相反，任何全连接层都可以被转化为卷积层。比如，一个 $K=4096$ 的全连接层，输入数据体的尺寸是 $7\times 7\times 512$ ，这个全连接层可以被等效地看做一个 $F=7,P=0,S=1,K=4096$ 的卷积层。换句话说，就是将滤波器的尺寸设置为和输入数据体的尺寸一致了。因为只有一个单独的深度列覆盖并滑过输入数据体，所以输出将变成 $1\times 1\times 4096$ ，这个结果就和使用初始的那个全连接层一样了。

全连接层转化为卷积层：在两种变换中，将全连接层转化为卷积层在实际运用中更加有用。假设一个卷积神经网络的输入是224x224x3的图像，一系列的卷积层和汇聚层将图像数据变为尺寸为7x7x512的激活数据体（在AlexNet中就是这样，通过使用5个汇聚层来对输入数据进行空间上的降采样，每次尺寸下降一半，所以最终空间尺寸为224/2/2/2/2/2=7）。从这里可以看到，AlexNet使用了两个尺寸为4096的全连接层，最后一个有1000个神经元的全连接层用于计算分类评分。我们可以将这3个全连接层中的任意一个转化为卷积层：

针对第一个连接区域是[7x7x512]的全连接层，令其滤波器尺寸为 $F=7$ ，这样输出数据体就为[1x1x4096]了。
针对第二个全连接层，令其滤波器尺寸为 $F=1$ ，这样输出数据体为[1x1x4096]。
对最后一个全连接层也做类似的，令其 $F=1$ ，最终输出为[1x1x1000]

层的排列规律

卷积神经网络最常见的形式就是将一些卷积层和ReLU层放在一起，其后紧跟汇聚层，然后重复如此直到图像在空间上被缩小到一个足够小的尺寸，在某个地方过渡成成全连接层也较为常见。最后的全连接层得到输出，比如分类评分等。换句话说，最常见的卷积神经网络结构如下：

INPUT -> [[CONV -> RELU]*N -> POOL?]*M -> [FC -> RELU]*K -> FC

其中*指的是重复次数，POOL?指的是一个可选的汇聚层。其中N >=0,通常N<=3,M>=0,K>=0,通常K<3。例如，下面是一些常见的网络结构规律：

INPUT -> FC,实现一个线性分类器，此处N = M = K = 0。
INPUT -> CONV -> RELU -> FC
INPUT -> [CONV -> RELU -> POOL]*2 -> FC -> RELU -> FC。此处在每个汇聚层之间有一个卷积层。
INPUT -> [CONV -> RELU -> CONV -> RELU -> POOL]*3 -> [FC -> RELU]*2 -> FC。此处每个汇聚层前有两个卷积层，这个思路适用于更大更深的网络，因为在执行具有破坏性的汇聚操作前，多重的卷积层可以从输入数据中学习到更多的复杂特征。

层的尺寸设置规律

到现在为止，我们都没有提及卷积神经网络中每层的超参数的使用。现在先介绍设置结构尺寸的一般性规则，然后根据这些规则进行讨论：

输入层（包含图像的）应该能被2整除很多次。常用数字包括32（比如CIFAR-10），64，96（比如STL-10）或224（比如ImageNet卷积神经网络），384和512。

卷积层应该使用小尺寸滤波器（比如3x3或最多5x5），使用步长 $S=1$ 。还有一点非常重要，就是对输入数据进行零填充，这样卷积层就不会改变输入数据在空间维度上的尺寸。比如，当 $F=3$ ，那就使用 $P=1$ 来保持输入尺寸。当 $F=5,P=2$ ，一般对于任意 $F$ ，当 $P=(F-1)/2$ 的时候能保持输入尺寸。如果必须使用更大的滤波器尺寸（比如7x7之类），通常只用在第一个面对原始图像的卷积层上。

案例学习

下面是卷积神经网络领域中比较有名的几种结构：

LeNet：第一个成功的卷积神经网络应用，是Yann LeCun在上世纪90年代实现的。当然，最著名还是被应用在识别数字和邮政编码等的LeNet结构。
AlexNet：AlexNet卷积神经网络在计算机视觉领域中受到欢迎，它由Alex Krizhevsky，Ilya Sutskever和Geoff Hinton实现。AlexNet在2012年的ImageNet ILSVRC 竞赛中夺冠，性能远远超出第二名（16%的top5错误率，第二名是26%的top5错误率）。这个网络的结构和LeNet非常类似，但是更深更大，并且使用了层叠的卷积层来获取特征（之前通常是只用一个卷积层并且在其后马上跟着一个汇聚层）。
ZF Net：Matthew Zeiler和Rob Fergus发明的网络在ILSVRC 2013比赛中夺冠，它被称为 ZFNet（Zeiler & Fergus Net的简称）。它通过修改结构中的超参数来实现对AlexNet的改良，具体说来就是增加了中间卷积层的尺寸，让第一层的步长和滤波器尺寸更小。
GoogLeNet：ILSVRC 2014的胜利者是谷歌的Szeged等实现的卷积神经网络。它主要的贡献就是实现了一个奠基模块，它能够显著地减少网络中参数的数量（AlexNet中有60M，该网络中只有4M）。还有，这个论文中没有使用卷积神经网络顶部使用全连接层，而是使用了一个平均汇聚，把大量不是很重要的参数都去除掉了。GooLeNet还有几种改进的版本，最新的一个是Inception-v4。
VGGNet：ILSVRC 2014的第二名是Karen Simonyan和 Andrew Zisserman实现的卷积神经网络，现在称其为VGGNet。它主要的贡献是展示出网络的深度是算法优良性能的关键部分。他们最好的网络包含了16个卷积/全连接层。网络的结构非常一致，从头到尾全部使用的是3x3的卷积和2x2的汇聚。他们的预训练模型是可以在网络上获得并在Caffe中使用的。VGGNet不好的一点是它耗费更多计算资源，并且使用了更多的参数，导致更多的内存占用（140M）。其中绝大多数的参数都是来自于第一个全连接层。后来发现这些全连接层即使被去除，对于性能也没有什么影响，这样就显著降低了参数数量。
ResNet：残差网络（Residual Network）是ILSVRC2015的胜利者，由何恺明等实现。它使用了特殊的跳跃链接，大量使用了批量归一化（batch normalization）。这个结构同样在最后没有使用全连接层。读者可以查看何恺明的的演讲（视频，PPT），以及一些使用Torch重现网络的实验。ResNet当前最好的卷积神经网络模型（2016年五月）。何开明等最近的工作是对原始结构做一些优化，可以看论文Identity Mappings in Deep Residual Networks，2016年3月发表。

计算上的考量

在构建卷积神经网络结构时，最大的瓶颈是内存瓶颈。大部分现代GPU的内存是3/4/6GB，最好的GPU大约有12GB的内存。要注意三种内存占用来源：

来自中间数据体尺寸：卷积神经网络中的每一层中都有激活数据体的原始数值，以及损失函数对它们的梯度（和激活数据体尺寸一致）。通常，大部分激活数据都是在网络中靠前的层中（比如第一个卷积层）。在训练时，这些数据需要放在内存中，因为反向传播的时候还会用到。但是在测试时可以聪明点：让网络在测试运行时候每层都只存储当前的激活数据，然后丢弃前面层的激活数据，这样就能减少巨大的激活数据量。
来自参数尺寸：即整个网络的参数的数量，在反向传播时它们的梯度值，以及使用momentum、Adagrad或RMSProp等方法进行最优化时的每一步计算缓存。因此，存储参数向量的内存通常需要在参数向量的容量基础上乘以3或者更多。
卷积神经网络实现还有各种零散的内存占用，比如成批的训练数据，扩充的数据等等。

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