第二章总结了二分分类与逻辑回归,第三章关于浅层神经网络

神经网络的结构与逻辑回归类似,只是神经网络的层数比逻辑回归多了一层,多出的中间一层叫隐藏层,那么,神经网络的计算就相当于多进行一次逻辑回归的计算

正向传播过程分成两层，第一层是输入层到隐藏层，用上标[1]来表示：第二层是隐藏层到输出层，用上标[2]来表示

神经网络的正向传播过程为:

每一个神经元的计算过程如下:

关于隐藏层对应的权重W [1]   和常数项b [1]   ，W [1]  的维度是（4,3）。这里的4对应着隐藏层神经元个数，3对应着输入层x特征向量包含元素个数。常数项  b[1] 的维度是（4,1），这里的4同样对应着隐藏层神经元个数。关于输出层对应的权重W[2] 和常数项b [2] ，W [2]   的维度是（1,4），这里的1对应着输出层神经元个数，4对应着隐藏层神经元个数。常数项b [2]  的维度是（1,1），因为输出只有一个神经元。总结一下，第i层的权重W [i]  W[i] 维度的行等于i层神经元的个数，列等于i-1层神经元的个数；第i层常数项b [i] 维度的行等于i层神经元的个数，列始终为1

为了方便运算,我们将其向量化:

先用乘法表示,可以看为

不使用for循环，利用矩阵运算的思想，输入矩阵X的维度为（n x  ,m）。这样，我们可以把上面的for循环写成矩阵运算的形式

W[1]的维度为(i,nx)  i为隐藏层神经元的个数,b[1]的维度为(i,1), i为隐藏层神经元的个数,Z[1]的维度为(i,m) m为样本个数,A[1]的维度为(i,m),W[2]的维度为(n,i),n为输出层个数,b[2]的维度为(n,1),Z[2]的维度为(n,m),n为输出层个数 A[2]的维度为(n,m)

ps:输入层X也可用A[0]表示

Activation Function:

tanh 函数与sigmoid 函数区别: tanh函数几乎在各个方面都比sigmoid函数表现好,因为tanh函数的取值范围在[-1,+1]之间，隐藏层的输出被限定在[-1,+1]之间，可以看成是在0值附近分布，均值为0。这样从隐藏层到输出层，数据起到了归一化（均值为0）的效果.而对于输出层的激活函数，因为二分类问题的输出取值为{0,+1}，所以一般会选择sigmoid作为激活函数。

sigmoid函数和tanh函数，有这样一个问题，就是当|z|很大的时候，激活函数的斜率（梯度）很小。因此，在这个区域内，梯度下降算法会运行得比较慢。在实际应用中，应尽量避免使z落在这个区域，使|z|尽可能限定在零值附近，从而提高梯度下降算法运算速度

为了弥补sigmoid函数和tanh函数的这个缺陷，就出现了ReLU激活函数。ReLU激活函数在z大于零时梯度始终为1；在z小于零时梯度始终为0；z等于零时的梯度可以当成1也可以当成0，实际应用中并不影响。对于隐藏层，选择ReLU作为激活函数能够保证z大于零时梯度始终为1，从而提高神经网络梯度下降算法运算速度。但当z小于零时，存在梯度为0的缺点，实际应用中，这个缺点影响不是很大。为了弥补这个缺点，出现了Leaky ReLU激活函数，能够保证z小于零是梯度不为0。

最后总结一下，如果是分类问题，输出层的激活函数一般会选择sigmoid函数。但是隐藏层的激活函数通常不会选择sigmoid函数，tanh函数的表现会比sigmoid函数好一些。实际应用中，通常会会选择使用ReLU或者Leaky ReLU函数，保证梯度下降速度不会太小。其实，具体选择哪个函数作为激活函数没有一个固定的准确的答案，应该要根据具体实际问题进行验证（validation）。

为什么用使用非线性函数:如果隐藏层和输出层都是用线性函数最后就可以化为一个 w'x+b的函数,这样就和简单的使用线性模型没有任何关系,过程如下:

隐藏层必须使用非线性激活函数

另外，如果所有的隐藏层全部使用线性激活函数，只有输出层使用非线性激活函数，那么整个神经网络的结构就类似于一个简单的逻辑回归模型，而失去了神经网络模型本身的优势和价值。

当然,如果是预测问题而不是分类问题，输出y是连续的情况下，输出层的激活函数可以使用线性函数。如果输出y恒为正值，则也可以使用ReLU激活函数，具体情况，具体分析。

各个激活函数的导数:

 Gradient descent for neural networks:

神经网络中的梯度下降,关于反向传播的求导问题,与第二章的差不多,求导采用求导中的链式法则,一步步进行运算,即可求得结果

Random Initialization

关于w和b的初始化,如果将w全部初始化为0,就会得到  a1[1]=a2[1] 。经过推导得到dz [1] 1 =dz [1] 2  dz1[1]=dz2[1] ，以及dW [1] 1 =dW [1] 2  dW1[1]=dW2[1] 。因此，这样的结果是隐藏层两个神经元对应的权重行向量W [1] 1  W1[1] 和W [1] 2  W2[1] 每次迭代更新都会得到完全相同的结果， W1[1] 始终等于W [1] 2  W2[1] ，完全对称。这样隐藏层设置多个神经元就没有任何意义了。值得一提的是，参数b可以全部初始化为零，并不会影响神经网络训练效果。

python中初始化随机变量w可以用以下代码:

W_1 = np.random.randn((2,2))*0.01
b_1 = np.zero((2,1)) W_2 = np.random.randn((1,2))*0.01 b_2 = 0

这里我们将W [1] 1  W1[1] 和W [1] 2  W2[1] 乘以0.01的目的是尽量使得权重W初始化比较小的值。之所以让W比较小，是因为如果使用sigmoid函数或者tanh函数作为激活函数的话，W比较小，得到的|z|也比较小（靠近零点），而零点区域的梯度比较大，这样能大大提高梯度下降算法的更新速度，尽快找到全局最优解。如果W较大，得到的|z|也比较大，附近曲线平缓，梯度较小，训练过程会慢很多。

当然，如果激活函数是ReLU或者Leaky ReLU函数，则不需要考虑这个问题。但是，如果输出层是sigmoid函数，则对应的权重W最好初始化到比较小的值。