最小生成树的java实现

文章目录

一、概念
二、算法
- 2.1 Prim算法
- 2.2 Kruskal算法

笔记来源：中国大学MOOC王道考研

一、概念

连通图：图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图
生成树：连通图包含全部顶点的一个极小连通子图
最小生成树：在含有n个顶点的带权无向连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树（不一定唯一）。
- 性质1：不一定唯一
- 性质2：如果所有边的权重都不相同，则一定唯一
- 性质3：如果连通图只有n-1条边，则最小生成树就是它本身
- 性质4：最小生成树的边数为n-1

二、算法

2.1 Prim算法

步骤如下：

初始化，取任意顶点加入结果树：
加入A相邻的且不在结果树中，并且是最小权值的点C
加入与A，C相邻的且不在结果树中，并且是最小权值的点B（BC最小）
重复上述步骤，直到所有顶点都进入结果树：

java代码实现如下：

我们需要用两个数组来实现过程：

min_weight[n]：当前结果树到所有顶点的最短距离

adjvex[n]：adjvex[C]=0，代表C是通过A加入结果树的（0是A的下标）

  /** 首先我们给出图的存储结构*/
package MST;import java.util.List;public class Graph {/** 点的存储*/private List<String> vex;/** 边的存储*/private int edges[][];public Graph(List<String> vex, int[][] edges) {this.vex = vex;this.edges = edges;}public List<String> getVex() {return vex;}public void setVex(List<String> vex) {this.vex = vex;}public int[][] getEdges() {return edges;}public void setEdges(int edges[][]) {this.edges = edges;}public int getVexNum() {return vex.size();}public int getEdgeNum() {return edges.length;}
}

然后初始化图：

public class Prime {int m = Integer.MAX_VALUE;int[][] edges = {{0, 3, 1, m, 4},{3, 0, 2, m, m},{1, 2, 0, 5, 6},{m, m, 5, 0, m},{4, m, 6, m, 0},};//打印最小生成树void MST_Prime(Graph G) {int vexNum = G.getVexNum();//节点个数int[] min_weight = new int[vexNum];//当前结果树到所有顶点的最短距离int[] adjvex = new int[vexNum];//adjvex[C]=0，代表C是通过A加入结果树的（0是A的下标）/*初始化两个辅助数组*/for(int i = 0; i < vexNum; i++) {min_weight[i] = (G.getEdges())[0][i];//第一个顶点到其余顶点的距离adjvex[i]=0;}int min_edg;//当前挑选的最小权值int min_vex = 0;//最小权值对应的节点下标/*循环剩余n-1个点*/for(int i = 1; i < vexNum; i++) {min_edg = Integer.MAX_VALUE;for(int j = 1; j < vexNum; j++) {if(min_weight[j]!=0 && min_weight[j] < min_edg) {//寻找还没有被挑选进来的，最小权重的点min_edg = min_weight[j];min_vex = j;                  }}min_weight[min_vex] = 0;//纳入结果树          /*修改对应辅助数组的值*/for(int j = 0; j < vexNum; j++) {if(min_weight[j]!=0 && (G.getEdges())[min_vex][j]<min_weight[j] && (G.getEdges())[min_vex][j]>0) {min_weight[j] = (G.getEdges())[min_vex][j];adjvex[j]=min_vex;}}int pre = adjvex[min_vex];int end = min_vex;System.out.println("("+G.getVex().get(pre)+","+G.getVex().get(end)+")");}}//初始化图Graph init() {List<String> vex=new ArrayList<String>();vex.add("A");vex.add("B");vex.add("C");vex.add("D");vex.add("E");Graph graph = new Graph(vex, edges);return graph;}public static void main(String[] args) {Prime prime = new Prime();Graph graph = prime.init();prime.MST_Prime(graph);}
}

打印结果如下：

(A,C)
(C,B)
(A,E)
(C,D)

2.2 Kruskal算法

步骤如下：

每个顶点都是独立的树
挑选最短的边AC，加入边集中
依次加入BC，AB，但是AB构成了回路，舍弃
重复直到取了n-1条边

java代码实现如下：

使用 并查集、堆排序、kruskal算法

引用并查集博客：Java实现并查集

//首先我们实现并查集（用来判断是否构成回路--是否属于一个并查集）
public class UnionFindSet {//查询树的根public static int find(int x, int [] par){if(par[x] == x){return x;}else{//压缩路径，第二次查询可以直接返回x的根而不用递归return par[x] = find(par[x], par);}}//合并public static void unite(int x, int y, int [] par, int [] rank){x = find(x, par);y = find(y, par);if(x == y){return ;}if(rank[x] < rank[y]){par[x] = y;}else{par[y] = x;if(rank[x] == rank[y]) rank[x]++;}}//判断x和y是否属于同一个集合public static boolean same(int x, int y, int [] par){return find(x, par) == find(y, par);}
}

然后实现堆排序（稍作修改）：

堆排序参考这篇博客：Java实现堆排序和图解

public class HeapSort {public static void sort(Edge[] arr){//1.构建大顶堆for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){//从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构adjustHeap(arr,i,arr.length);}//2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素for(int j=arr.length-1;j>0;j--){swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整}}/*** 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上）* @param arr* @param i* @param length*/public static void adjustHeap(Edge[] arr,int i,int length){Edge temp = arr[i];//先取出当前元素ifor(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//从i结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始if(k+1<length && arr[k].weight<arr[k+1].weight){//如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点k++;}if(arr[k].weight >temp.weight){//如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）arr[i] = arr[k];i = k;}else{break;}}arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置}/*** 交换元素* @param arr* @param a* @param b*/public static void swap(Edge[] arr,int a ,int b){Edge temp=arr[a];arr[a] = arr[b];arr[b] = temp;}
}

最后我们实现Kruskal算法：

package MST;import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class Kruskal {int m = Integer.MAX_VALUE;int[][] arr = {{0, 3, 1, m, 4},{3, 0, 2, m, m},{1, 2, 0, 5, 6},{m, m, 5, 0, m},{4, m, 6, m, 0},};Graph init() {List<String> vex=new ArrayList<String>();vex.add("A");vex.add("B");vex.add("C");vex.add("D");vex.add("E");Graph graph = new Graph(vex, arr);return graph;}//kruskal算法void MST_Kruskal(Graph G, Edge[] edges, int[] parents, int[] rank) {HeapSort.sort(edges);//堆排序for(int i = 0; i < G.getEdgeNum(); i++) {if(!UnionFindSet.same(edges[i].a, edges[i].b, parents)) {UnionFindSet.unite(edges[i].a, edges[i].b, parents, rank);System.out.println("("+G.getVex().get(edges[i].a)+","+G.getVex().get(edges[i].b)+")");}}}public static void main(String[] args) {Kruskal kruskal = new Kruskal();Graph graph = kruskal.init();int[] parents = {0,1,2,3,4};int[] rank = {1,1,1,1,1};Edge[] edges = new Edge[10];int index = 0;for(int i = 0; i < 5;i++) {for(int j=0;j<i;j++) {edges[index] = new Edge();edges[index].weight = kruskal.arr[i][j];edges[index].a = i;edges[index++].b = j;}}kruskal.MST_Kruskal(graph, edges, parents, rank);}
}

输出结构为：

(C,A)
(C,B)
(E,A)
(D,C)

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