关于矩阵

1.矩阵的左除和右除：

注意只有当两个矩阵中前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数相同时，才可以进行乘法运算。a\b运算等效于求a*x=b的解；而a/b等效于求x*b=a的解。只有方阵才可以求幂。2.逆矩阵与行列式计算求逆：inv(A)；求行列式：det(A)；要求矩阵必须为方阵3.运用矩阵下标提取、重排矩阵A(m,n)：提取第m行，第n列元素；A(:,n)：提取第n列元素；A(m,:)：提取第m行元素。A(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排列。矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址位置上设定一个数(赋值)，则该矩阵会自动扩展行列数，并在该位置上添加这个数，而且在其他没有指定的位置补零。4、求矩阵的大小[m,n]=size(A,x)：返回矩阵的行列数m与n，当x=1，则只返回行数m，当x=2，则只返回列数n。length(A)=max(size(A))：返回行数或列数的最大值。rank(A)：求矩阵的秩。5、矩阵的转置对于实矩阵用(’)符号或(.’)求转置结果是一样的；然而对于含复数的矩阵，则(’)将同时对复数进行共轭处理，而 (.’)则只是将其排列形式进行转置。

多项式处理

1、多项式的求根与反推

在MATLAB中，多项式使用降幂系数的行向量表示，如：x^2+2x+1

表示为p=[1 2 1],求根使用函数r=roots(p);已知根反求多项式用po=poly(r)。

2、多项式的运算相乘conv：a=[1 2 3] ; b=[1 2]    c=conv(a,b)=1 4 7 6conv指令可以嵌套使用，如conv(conv(a,b),c)相除deconv：[q,r]=deconv(c,b)q=1 2 3      ％商多项式r=0 0 0       ％余多项式求多项式的微分多项式polyder：polyder(a)=2  2

求多项式函数值polyval(p,n)：

polyval(a,2)=11

3、多项式的拟合多项式拟合又称为曲线拟合，其目的就是在众多的样本点中进行拟合，找出满足样本点分布的多项式。这在分析实验数据，将实验数据做解析描述时非常有用。

命令格式：p=polyfit(x,y,n)，其中x和y为样本点向量，n为所求多项式的阶数，p为求出的多项式。

如：

x = linspace(0,4*pi,10);y = sin(x);使用 polyfit 将一个 7 次多项式与这些点拟合。p = polyfit(x,y,7);

更多关于函数拟合的实例讲解：

https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html

官方帮助文档列举了误差拟合、改善数值、 绘制线性回归图等实例。

4、多项式插值

多项式插值是指根据给定的有限个样本点，产生另外的估计点以达到数据更为平滑的效果。该技巧在信号处理与图像处理上应用广泛。

所用指令有一维的interp1、二维的interp2、三维的interp3。这些指令分别有不同的方法(method)，设计者可以根据需要选择适当的方法，以满足系统属性的要求。Help polyfun可以得到更详细的内容。y=interp1(xs,ys,x,’method’)在有限样本点向量xs与ys中，插值产生向量x和y，所用方法定义在method中，有4种选择：nearest：执行速度最快，输出结果为直角转折linear：默认值，在样本点上斜率变化很大spline：最花时间，但输出结果也最平滑cubic：最占内存，输出结果与spline差不多

例如：在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为              12，9，9，1，0，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，      推测中午12点(即13点)时的温度．  %}  x = 0:2:24;  y = [12   9   9   10   18  24   28   27   25   20  18  15  13];  a = 13;  y1 = interp1(x,y,a,'spline')  % 结果为：27.8725    % 若要得到一天24小时的温度曲线，则：xi = 0:1/3600:24;  % 插值点可以是向量，则返回的也就是对应的向量  yi = interp1(x,y,xi, 'spline');  plot(x,y,'o' ,xi,yi);

MATLAB数据处理

1、矩阵分解

奇异值分解：[U,S,V]=svd(A)求矩阵A的奇异值及分解矩阵，满足U*S*V’=A，其中U、V矩阵为正交矩阵(U*U’=I)，S矩阵为对角矩阵，它的对角元素即A矩阵的奇异值。特征值分解：求矩阵A的特征向量V及特征值D，满足A*V=V*D。其中D的对角线元素为特征值，V的列为对应的特征向量。如果D=eig(A)则只返回特征值正交分解：[Q,R]=qr(A)将矩阵A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q为正交矩阵(其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。三角分解：[L,U]=lu(A)将A做对角线分解，使得A=L*U,其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。注意：L实际上是一个“心理上”的下三角矩阵，它事实上是一个置换矩阵P的逆矩阵与一个真正下三角矩阵L1(其对角线元素为1)的乘积。[L1,U1,P]=lu(A)

MATLAB的图形绘制

MATLAB提供了丰富的绘图功能，help  graph2d可得到所有画二维图形的命令，help  graph3d可得到所有画三维图形的命令，下面介绍常用的二维图形命令。

1、基本的plot绘图函数

plot(x1,y1,option1,x2,y2,option2,…)x1,y1给出的数据分别为x,y轴坐标值，option1为选项参数，以逐点连折线的方式绘制1个二维图形；同时类似地绘制第二个二维图形，……等。这是plot命令的完全格式，在实际应用中可以根据需要进行简化。比如：plot(x,y)；plot(x,y,option)选项参数option定义了图形曲线的颜色、线型及标示符号，它由一对单引号括起来。例1：在0≤x≤2区间内，绘制曲线y=2e-0.5xcos(4πx)程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y=2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x); (.将指数与后面断开)plot(x,y)例2：分析下列代码，想象输出的图形。

x1=linspace(0,2*pi,100);%将0~2pi之间分为一百个等距的店x2=linspace(0,3*pi,100);x3=linspace(0,4*pi,100);y1=sin(x1);y2=1+sin(x2);  %sin图像向上移动一个单位y3=2+sin(x3);x=[x1;x2;x3]'; %将x1~y1\x2~y2\x3~y3对应的图像整合成矩阵，一起绘制出y=[y1;y2;y3]';plot(x,y,x1,y1-1)

注：plotyy可以绘制两个纵坐标的图形。

plotyy(x1,y1,x2,y2)

其中x1,y1对应一条曲线，x2,y2对应另一条曲线。横坐标的标度相同，纵坐标有两个，左纵坐标用于x1,y1数据对，右纵坐标用于x2,y2数据对。

例3：在同一坐标内，分别用不同线型和颜色绘制曲线y1=0.2e-0.5xcos(4πx) 和y2=2e-0.5xcos(πx)，标记两曲线交叉点。

x=linspace(0,2*pi,1000);y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);k=find(abs(y1-y2)<1e-2);        %查找y1与y2相等点(近似相等)的下标x1=x(k);                           %取y1与y2相等点的x坐标y3=0.2*exp(-0.5*x1).*cos(4*pi*x1);    %求y1与y2值相等点的y坐标plot(x,y1,x,y2,'k:',x1,y3,'bp');

2、选择图像figure(1)；figure(2)；…；figure(n)打开不同的图形窗口，以便绘制不同的图形。

3、网格开启与关闭

grid on：在所画出的图形坐标中加入栅格grid off：除去图形坐标中的栅格4、图形保持

hold on：把当前图形保持在屏幕上不变，同时允许在这个坐标内绘制另外一个图形。

hold off：使新图覆盖旧的图形

5、图像标注

text(x,y,’字符串’)在图形的指定坐标位置(x,y)处，标示单引号括起来的字符串。gtext(‘字符串’)利用鼠标在图形的某一位置标示字符串。title(‘字符串’)在所画图形的最上端显示说明该图形标题的字符串。xlabel(‘字符串’)，ylabel(‘字符串’)设置x，y坐标轴的名称。输入特殊的文字需要用反斜杠(\)开头。函数中的说明文字，除使用标准的ASCII字符外，还可使用LaTeX格式的控制字符，这样就可以在图形上添加希腊字母、数学符号及公式等内容。例如，text(0.3,0.5,‘sin({\omega}t+{\beta})’)将得到标注效果sin(ωt+β)6、坐标设置axis函数的调用格式为：axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])axis函数功能丰富，常用的格式还有：axis equal：纵、横坐标轴采用等长刻度。axis square：产生正方形坐标系(缺省为矩形)。axis auto：使用缺省设置。axis off：取消坐标轴。axis on：显示坐标轴。例4在同一坐标中，可以绘制3个同心圆，并加坐标控制。程序如下：

t=0:0.01:2*pi;x=exp(i*t);    而复数exp(i*t)的实部是cos(t),虚部是sin(t),因此，x=exp(i*t)就是圆的复数方程。i 是虚数单位。而复数exp(i*t)的实部是cos(t),虚部是sin(t),因此，x=exp(i*t)就是圆的复数方程。i 是虚数单位。y=[x;2*x;3*x]';plot(y)grid on;            %加网格线box on;            %加坐标边框axis equal          %坐标轴采用等刻度

7、图形的分割subplot函数的调用格式为：subplot(m,n,p)该函数将当前图形窗口分成m×n个绘图区，即每行n个，共m行，区号按行优先编号，且选定第p个区为当前活动区。在每一个绘图区允许以不同的坐标系单独绘制图形8、其他坐标系下的二维数据曲线图MATLAB提供了绘制对数和半对数坐标曲线的函数，调用格式为：semilogx(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…)semilogy(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…)polar函数用来绘制极坐标图，其调用格式为：polar(theta,rho,选项)其中theta为极坐标极角，rho为极坐标矢径，选项的内容与plot函数相似。

9、坐标表示方式

在MATLAB中，二维统计分析图形很多，常见的有条形图、阶梯图、杆图和填充图等，所采用的函数分别是：bar(x,y,选项)stairs(x,y,选项)stem(x,y,选项)fill(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…)例5：分别以条形图、阶梯图、杆图和填充图形式绘制曲线y=2sin(x)。

x=0:pi/10:2*pi;y=2*sin(x);subplot(2,2,1);bar(x,y,'g');title('bar(x,y,''g'')');axis([0,7,-2,2]);subplot(2,2,2);stairs(x,y,'b');title('stairs(x,y,''b'')');axis([0,7,-2,2]);subplot(2,2,3);stem(x,y,'k');title('stem(x,y,''k'')');axis([0,7,-2,2]);subplot(2,2,4);fill(x,y,'y');title('fill(x,y,''y'')');axis([0,7,-2,2]);

饼图和向量图：

(1) 某企业全年各季度的产值(单位：万元)分别为：2347,1827,2043,3025，试用饼图作统计分析。(2) 绘制复数的相量图：7+2.9i、2-3i和-1.5-6i。

subplot(1,2,1);pie([2347,1827,2043,3025]);title('饼图');legend('一季度','二季度','三季度','四季度');subplot(1,2,2);compass([7+2.9i,2-3i,-1.5-6i]);title('相量图');

10、三维图形plot3函数与plot函数用法十分相似，其调用格式为：plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n) 例6绘制三维曲面图z=sin(x+sin(y))-x/10。程序如下：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi);z=sin(x+sin(y))-x/10;mesh(x,y,z);axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]);此外，还有带等高线的三维网格曲面函数meshc和带底座的三维网格曲面函数meshz。其用法与mesh类似，不同的是meshc还在xy平面上绘制曲面在z轴方向的等高线，meshz还在xy平面上绘制曲面的底座。标准三维曲面sphere函数的调用格式为：[x,y,z]=sphere(n)cylinder函数的调用格式为：[x,y,z]= cylinder(R,n)MATLAB还有一个peaks 函数，称为多峰函数，常用于三维曲面的演示。

t=0:pi/20:2*pi;[x,y,z]= cylinder(2+sin(t),30);subplot(2,2,1);surf(x,y,z);subplot(2,2,2);[x,y,z]=sphere;surf(x,y,z);subplot(2,1,2);[x,y,z]=peaks(30); surf(x,y,z;

例7绘制三维图形：(1) 绘制魔方阵的三维条形图。(2) 以三维杆图形式绘制曲线y=2sin(x)。(3) 已知x=[2347,1827,2043,3025]，绘制饼图。(4) 用随机的顶点坐标值画出五个黄色三角形。

subplot(2,2,1);bar3(magic(4))subplot(2,2,2);y=2*sin(0:pi/10:2*pi);stem3(y);subplot(2,2,3);pie3([2347,1827,2043,3025]);subplot(2,2,4);fill3(rand(3,5),rand(3,5),rand(3,5), 'y' )

11、MATLAB三维图形的修饰颜色的向量表示MATLAB除用字符表示颜色外，还可以用含有3个元素的向量表示颜色。向量元素在[0,1]范围取值，3个元素分别表示红、绿、蓝3种颜色的相对亮度，称为RGB三元组。色图(Color map)是MATLAB系统引入的概念。在MATLAB中，每个图形窗口只能有一个色图。色图是m×3 的数值矩阵，它的每一行是RGB三元组。色图矩阵可以人为地生成，也可以调用MATLAB提供的函数来定义色图矩阵。三维表面图实际上就是在网格图的每一个网格片上涂上颜色。surf函数用缺省的着色方式对网格片着色。除此之外，还可以用shading命令来改变着色方式。shading faceted命令将每个网格片用其高度对应的颜色进行着色，但网格线仍保留着，其颜色是黑色。这是系统的缺省着色方式。shading flat命令将每个网格片用同一个颜色进行着色，且网格线也用相应的颜色，从而使得图形表面显得更加光滑。shading interp命令在网格片内采用颜色插值处理，得出的表面图显得最光滑。

例：3种图形着色方式的效果展示。

[x,y,z]=sphere(20);colormap(copper);subplot(1,3,1);surf(x,y,z);axis equalsubplot(1,3,2);surf(x,y,z);shading flat;axis equalsubplot(1,3,3);surf(x,y,z);shading interp;axis equal

MATLAB提供了灯光设置的函数，其调用格式为：light('Color',选项1,'Style',选项2,'Position',选项3)例 光照处理后的球面。

[x,y,z]=sphere(20);subplot(1,2,1);surf(x,y,z);axis equal;light('Posi',[0,1,1]);shading interp;hold on;plot3(0,1,1,'p');text(0,1,1,' light');subplot(1,2,2);surf(x,y,z);axis equal;light('Posi',[1,0,1]);shading interp;hold on;plot3(1,0,1,'p');text(1,0,1,' light');

图形的裁剪处理例 绘制三维曲面图，并进行插值着色处理，裁掉图中x和y都小于0部分。程序如下：[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);z=cos(x).*cos(y).*exp(-sqrt(x.^2+y.^2)/4);surf(x,y,z);shading interp;pause                 %程序暂停i=find(x<=0&y<=0);z1=z;z1(i)=NaN;surf(x,y,z1);shading interp;为了展示裁剪效果，第一个曲面绘制完成后暂停，然后显示裁剪后的曲面。image和imagesc函数：这两个函数用于图像显示。为了保证图像的显示效果，一般还应使用colormap函数设置图像色图。例 有一图像文件flower.jpg，在图形窗口显示该图像。程序如下：[x,cmap]=imread('flower.jpg');  %读取图像的数据阵和色图阵image(x);colormap(cmap);axis image off    %保持宽高比并取消坐标轴 MATLAB提供getframe、moviein和movie函数进行动画制作。1．getframe函数getframe函数可截取一幅画面信息(称为动画中的一帧)，一幅画面信息形成一个很大的列向量。显然，保存n幅图面就需一个大矩阵。2．moviein函数moviein(n)函数用来建立一个足够大的n列矩阵。该矩阵用来保存n幅画面的数据，以备播放。之所以要事先建立一个大矩阵，是为了提高程序运行速度。3．movie函数movie(m,n)函数播放由矩阵m所定义的画面n次，缺省时播放一次。例5-27  绘制了peaks函数曲面并且将它绕z轴旋转。程序如下：

[X,Y,Z]=peaks(30); surf(X,Y,Z)axis([-3,3,-3,3,-10,10])axis off;shading interp;colormap(hot);m=moviein(20);            %建立一个20列大矩阵for i=1:20view(-37.5+24*(i-1),30)      %改变视点m(:,i)=getframe;            %将图形保存到m矩阵end movie(m,2);                 %播放画面2次