窗函数在图像处理中的应用

1. 频谱混乱的三角函数图像

下图是一个45度倾斜的单一频率的余弦函数图像，请注意图中的边界都不是均匀过渡到外界的，全是不连续的跳变。

下面来看看这幅图的频谱会是什么样？

频谱混乱的原因有两个：

第一个重要的原因就是一个域（不论是时域还是频域）的不连续导致了另一个域的振荡，拖尾，泄漏。所以下图中的频谱就会看起来非常混乱。

第二个原因就是DFT的周期性。当使用MATLAB中的函数FFT或FFT2的时候，一定要意识到，所做的计算本质上离散傅里叶级数（为什么是级数而不是变换，我会再写一篇文章说明）Discrete Fourier transform（DFT）。要知道，DFT的计算隐含着默认的周期性，这一周期性不论是在时域还是在频域都是无穷的，都是无限循环的，从二维信号上讲，即沿着X方向循环复制，也在Y方向循环复制。下图中用红色方框框出的只是其中的一个周期。

请注意上图中左图中（空间域）余弦信号图和他相邻的图像在红色边缘处的各种不连续（discontinuity）。这种不连续直接导致了右图中（频率域）及其混乱，复杂的频谱。所以，在处理任何图像时，千万不要忽视了图像的边缘。比如说，FFT之前的0填充，这也是一种会经常用到的避免频谱泄漏的有效方式。

汉宁窗

现在对原始图像进行加窗，这里选择的是汉宁窗（hanning window）。下图为汉宁窗的时间域函数图像及其频谱特征。

总的来说，窗函数都比较光滑，就好像一个高斯滑动均值滤波器磨平了原始信号中边缘的不连续。

请注意上图中我用红框框出的几个重要参数，这是衡量窗函数的三个重要指标。

对图像加窗

加窗后的频谱图远比加窗前的更集中，更清晰。

2. 著名的Cameraman.tiff

刚才的那个例子中，空间域的不连续是非常明显，显而易见的（TIPS：一个域的不连续导致了另外一个域的频振荡和拖尾，不只是从空间域/时间域到频域是这样）。下面用图像处理中的经典图像来看另外一种情况。在这个例子中，边界上的跳变远没有上一个例子那么明显，但也会引起频谱的泄露，污染了（smear）真实的频谱信息，而这种情况最为常见，最容易被忽视。

下图为cameraman的原图和频谱图，注意频谱图中我用箭头标出的一条白色的中轴线，也是频谱的泄漏造成的。

产生这根白线的原因主要是，原始图像在DFT周期复制的时候，头顶的蓝天部分较亮，而脚下草坪部分较暗。由于图像横向边缘的灰度值突变（见下图），在频谱图中的Y方向产生了频谱的泄露。当然了，图像的纵向边缘也能看到一些灰度的不平滑过渡，势必也会引起图像频谱在X方向的改变，但在此例中并不明显。

下面看看加窗后的图像和加窗后频谱的改变。

频谱图中间的那条白线，没了！

3. 上三角矩阵和下三角矩阵

理论上讲上三角矩阵和下三角矩阵的频谱都应该只有一条斜线，不管是左斜还有右斜，但是往往大家看到的上/下三角矩阵的频谱图当中还有一个十字架。这都是因为没有加窗出现了DFT周期性的边界不连续。

注意图中的十字架，这是本不该出现在频谱图中的成分。

下图是加窗后的真实频谱，见下图。

总结，这篇文章用三个简单的例子，粗略的解释了窗函数在DIP中的应用。实际图像处理的工作中，但凡是用到了频谱操作，很多时候正确的使用窗函数往往是大有裨益的!

【转载】https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80079215