【数据结构】图文例题详解单调栈与单调队列

单调栈与单调队列

一、前言
二、单调栈
- 1、单调栈的概念与实现方式
- 2、单调栈代码实现
三、单调队列
- 1、单调队列的概念与实现方式
- 2、单调队列代码实现

一、前言

在学习了最基本的栈和队列的知识点后，我们可以通过栈和队列解决一些更加复杂的问题，也可以通过栈与队列来优化一些算法的时间复杂度。在本博客中，笔者将介绍一下单调栈与单调队列的概念与实现方法。

二、单调栈

1、单调栈的概念与实现方式

与栈不同，单调栈中的元素必须保证某种单调性，可以是单调递增，也可以是单调递减。当然，为了保证栈中的元素单调，我们需要在入栈时进行一定的操作。

例如，假设此时单调递增栈中的元素为s={2,6,8,9}，即将入栈的元素t=7。
我们发现7小于9，如果7入栈会导致不单调。因此我们把9pop出栈。
然后，我们发现7依然小于栈顶元素8，重复上文操作
此时，我们终于发现栈顶元素6小于7，因此把7放进栈中
同理，如果我们再把t=9准备入栈，此时发现9大于7，直接入栈
然后我们如果再让t=1，操作后单调栈就会变成这样

2、单调栈代码实现

例题链接：Acwing 单调栈

给定一个长度为 N 的整数数列，输出每个数左边第一个比它小的数，如果不存在则输出 −1。输入格式
第一行包含整数 N，表示数列长度。第二行包含 N 个整数，表示整数数列。输出格式
共一行，包含 N 个整数，其中第 i 个数表示第 i 个数的左边第一个比它小的数，如果不存在则输出 −1。数据范围
1≤N≤1e5
1≤数列中元素≤1e9
输入样例：
5
3 4 2 7 5
输出样例：
-1 3 -1 2 2

分析：我们发现，对于第i个数的答案，我们只要把第1个数到第i个数进行单调递增栈的入栈操作，那么答案就是第i个数入栈前的栈顶元素。如果我们在对第i个数进行入栈操作时发现所有的数都被pop出去了，那么就说明答案不存在。

那么为什么是这样呢？首先我们发现如果要成为答案，必须满足两个条件，小与近。假设两个数a>b，如果a出现在b的左边，那么a 无论如何都不可能成为答案 的，这样的数留在栈里就没有意义。只有当a在b的右边并且第i个数大于a，a才可能成为答案。

正确代码：

//#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<list>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef  pair<int, int> PII;
const int N = 1e6 + 7;int n;
int a[N];  //储存答案
stack<int>s;  //单调递增栈void solve()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){int t;cin >> t;  //输入元素while (s.size())  //实现单调栈{if (s.top() < t)  //如果栈顶小于t{a[i] = s.top();  //栈顶就是答案break;  //结束单调栈实现操作}elses.pop();  //否则把栈顶丢出去，因为现在的栈顶又比t大又在t左边，是不可能成为后面的数的答案的}if (s.empty()) a[i] = -1;  //如果栈被掏空了，就说明没有答案s.push(t);  //无论有没有答案都要把t入栈}for (int i = 1; i <= n; i++)  //输出答案cout << a[i] << ' ';
}int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

三、单调队列

1、单调队列的概念与实现方式

单调队列在实现上不能依靠STL中的queue，需要手写queue或者用deque双向队列。因为在单调队列中我们对队首与队尾都需要操作。

在概念与实现上，单调栈如果加上一个能从栈顶pop出元素的功能，就是单调队列了，因此理解了单调栈之后再来理解单调队列就不是什么难事了。

通过单调队列，我们可以求出区间最值。

2、单调队列代码实现

相比于单调栈，单调队列的代码实现上会更难一些，原因就是需要手写队列。因此我们需要对栈与队列的原理有比较深的理解。

例题链接：Acwing 滑动窗口

给定一个大小为 n≤1e6 的数组。有一个大小为 k 的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。你只能在窗口中看到 k 个数字。每次滑动窗口向右移动一个位置。以下是一个例子：该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，k 为 3。窗口位置                  最小值 最大值
[1  3  -1] -3  5  3  6  7           -1      31 [3  -1  -3] 5  3  6  7           -3      31  3 [-1  -3  5] 3  6  7           -3      51  3  -1 [-3  5  3] 6  7           -3      51  3  -1  -3 [5  3  6] 7            3      61  3  -1  -3  5 [3  6  7]           3      7
你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。输入格式
输入包含两行。第一行包含两个整数 n 和 k，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。第二行有 n 个整数，代表数组的具体数值。同行数据之间用空格隔开。输出格式
输出包含两个。第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。输入样例：
8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7
输出样例：
-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

分析：单调队列的入队与保持单调的方式是和单调栈一样的，只是代码实现不一样。然后每一次的队首就是答案。由于需要求出最大值和最小值，我们需要写两个for循环来实现单调递增队列和递减队列。

正确代码
注意：在代码中队列数组q存的是数的编号而不是数本身！

//#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<list>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef  pair<int, int> PII;
const int N = 1e6 + 7;int h, t=-1;//队首与队尾指针
int a[N], q[N];//原数组，编号队列void solve()
{int n, k;cin >> n >> k;for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];  //输入原数组for (int i = 0; i < n; i++){if (h <= t && i - q[h] + 1 > k)h++;  //如果队列元素数量超过了k，队首pop出队while (h <= t && a[q[t]] >= a[i]) t--;  //保证队列内元素从小到大，同单调栈一样从队尾删除q[++t] = i;  //编号入队if (i + 1 >= k)cout << a[q[h]] << ' ';}cout << endl;h = 0,t = -1;  //初始化for (int i = 0; i < n; i++){if (h <= t && i - q[h] + 1 > k)h++;  //队列元素数量超过了kwhile (h <= t && a[q[t]] <= a[i]) t--;  //保证队列内元素从大到小q[++t] = i;  //编号入队if (i + 1 >= k)cout << a[q[h]] << ' ';}}int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

如果对代码无法理解的话，试着在纸上画画图吧。

作者：Avalon Demerzel，喜欢我的博客就点个赞吧，更多图论与数据结构知识点请见作者专栏《图论与数据结构》