Lucas（卢卡斯）定理---组合数取模问题

组合数

公式：

组合数取模问题

你可能第一感觉觉得组合数取模应该不难，不就是取个模嘛，
分子是n的阶乘，分母是 n！*（n-m）！需要注意的就是，分子分母都挺大的，容易爆范围，那么我们算阶乘的时候每一步都取模，这样就不会爆了。嘿嘿，轻松搞定！
但是，实际他的难点在后边，因为组合数的计算中牵扯到了除法运算。
注意：除法运算对自然数不具有封闭性，所以除法直接取模会出错。
什么意思呢? 举个栗子！
[(10*10)/(5*5)]%4= (100/25)%4=4%4=0 这是对的吧
然而每一步取模的话就是 (10%4) *(10%4)/(5%4)*(5%4)=2*2/1*1=2 就错了
这就是除法的不封闭性
那么，怎么半呢？既然除法取模不行，那我们把除法转化成乘法不就好了，乘法是封闭的
怎么转化呢？乘法逆元！
关于乘法逆元的用法以及如何求，写在这里
用费马小定理和扩展gcd都可以求逆元，下面写下扩展gcd的写法

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}ll r=exgcd(b,a%b,x,y);ll t=y;y=x-(a/b)*y;x=t;return r;
}
ll c(ll n,ll m){if(n<m)return 0;ll fz=1,fm=1;//求出分子 n!for(ll i=n;i>=1;i--){fz*=i;fz%=mod;}//求出分母 m!*(n-m)!for(ll i=m;i>=1;i--){fm*=i;fm%=mod;}for(ll i=n-m;i>=1;i--){fm*=i;fm%=mod;}//求出分母的逆元 xll x,y,ans;exgcd(fm,mod,x,y);x=(x+mod)%mod;//做乘法ans=x*fz%mod;return ans;
}

到这里，我们组合数取模的问题就解决了吗？别急，卢卡斯定理还没说呢。

卢卡斯定理

转化成逆元求乘法确实解决了除法取模的问题，但是，如果我给你的n和m都特别大呢。
比如（n<1e18,m<1e18）这样光是算阶乘就已经超时了
这个时候就用到了卢卡斯定理
很简单，一句话卢卡斯定理：
C(n, m) % p = C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p

对于C(n / p, m / p)，如果n / p 还是很大，就一直递归下去，直到m/p为0了

ll Lucas(ll n, ll m,ll mod){return m ? Lucas(n/mod, m/mod) * c(n%mod, m%mod) % mod : 1;//结合上用逆元求组合数的代码
}

定理的证明：

管他咋证明的，反正就是对的。(窝不会~)

模板题

P3807 【模板】卢卡斯定理

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+7;
ll f[maxn];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}ll r=exgcd(b,a%b,x,y);ll t=y;y=x-(a/b)*y;x=t;return r;
}
ll c(ll n,ll m,ll mod){if(n<m)return 0;ll fz,fm;fz=f[n];//分子fm=f[n-m]*f[m]%mod;//分母ll x,y,ans;exgcd(fm,mod,x,y);x=(x+mod)%mod;//逆元ans=x*fz%mod;return ans;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll mod){return m ? Lucas(n/mod, m/mod,mod) * c(n%mod, m%mod,mod) % mod : 1;
}
int main(){ll T,n,m,p;cin>>T;while(T--){cin>>n>>m>>p;f[0]=1;for(ll i=1;i<=p;i++)f[i]=i*f[i-1]%p;//预处理阶乘cout<<Lucas(n+m,m,p)<<endl;}
}