题意

有一颗树，多次询问：给出三个节点，求节点\(k\)使距离之和最小，且求距离。

思路

\(lca\)裸题。

这里可以证明一个性质：两两\(lca\)会得出三个节点，其中至少有两个重合。

证明：

显然有三种分布情况：

• 三个节点都在同一颗子树上，这时公共\(lca\)显然为子树根。

• 两个节点在同一颗子树上。假设这两个点(\(a,b\))的\(lca\)为\(x\)，而另一个节点为\(y\)，那么\(lca(a,y)=lca(b,y)=lca(x,y)\)。显然有两个重合。

• 三个节点都在不同子树上，同第一种情况。

\(Q.E.D\)

有了上面的性质，我们在计算的时候可以稍微减少计算量，

\(ans=dep[a]+dep[b]+dep[c]-dep[lca(a,b)]+dep[lca(b,c)]+dep[lca(c,a)]\)

但是这样还是过不了，因为\(OJ\)卡倍增\(lca\)，所以必须使用树剖求\(lca\)。

代码

（倍增90分）

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;namespace StandardIO {template<typename T> inline void read (T &x) {x=0;T f=1;char c=getchar();for (; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if (c=='-') f=-1;for (; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';x*=f;}template<typename T> inline void write (T x) {if (x<0) putchar('-'),x=-x;if (x>=10) write(x/10);putchar((x%10)+'0');}}using namespace StandardIO;namespace Solve {const int N=500500;int n,m;int cnt;int head[N];struct node {int to,next;} edge[N<<1];int fa[N][31],dep[N];inline void add (int a,int b) {edge[++cnt].to=b,edge[cnt].next=head[a],head[a]=cnt;}void dfs (int now,int f) {fa[now][0]=f,dep[now]=dep[f]+1;for (register int i=1; (1<<i)<=dep[now]; ++i) {fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];}for (register int i=head[now]; i; i=edge[i].next) {int to=edge[i].to;if (dep[to]) continue;dfs(to,now);}}inline int lca (int x,int y) {if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);for (register int i=20; i>=0; --i) {if (dep[y]>=dep[x]+(1<<i)) y=fa[y][i];}if (x==y) return x;for (register int i=20; i>=0; --i) {if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];}return fa[x][0];}inline void Main () {read(n),read(m);for (register int i=1; i<=n-1; ++i) {int a,b;read(a),read(b);add(a,b),add(b,a);}dfs(1,0);for (register int i=1; i<=m; ++i) {int a,b,c,ab,bc,ca,ans,dis;read(a),read(b),read(c);ab=lca(a,b),bc=lca(b,c),ca=lca(c,a);if (ab==bc) ans=ca;else if (ab==ca) ans=bc;else if (bc==ca) ans=ab;dis=dep[a]+dep[b]+dep[c]-dep[ab]-dep[bc]-dep[ca];write(ans),putchar(' '),write(dis),putchar('\n');}}}int main () {Solve::Main();
}