二叉排序树（二叉搜索树）

二叉排序树（也称为二叉查找树）是一种特殊的二叉树，它可以用来快速查找、插入和删除节点。

二叉排序树有以下性质：

在二叉排序树中，左子节点的值总是小于父节点的值。
在二叉排序树中，右子节点的值总是大于父节点的值。
二叉排序树的中序遍历结果是一个单调递增的序列。

在这个例子中，我们定义了两个类：Node 类和 BinarySearchTree 类。Node 类表示二叉排序树中的一个节点，包含一个数据域和两个指针域。BinarySearchTree 类表示二叉排序树本身，包含根节点和一些操作方法。

这个类实现了二叉排序树的两个常用操作：插入和查找。插入操作使用递归实现，查找操作也是使用递归实现。

下面是java实现的版本

class Node {int value;Node left;Node right;public Node(int value) {this.value = value;left = null;right = null;}
}class BinarySearchTree {Node root;public BinarySearchTree() {root = null;}public void insert(int value) {root = insertRecursive(root, value);}private Node insertRecursive(Node current, int value) {if (current == null) {return new Node(value);}if (value < current.value) {current.left = insertRecursive(current.left, value);} else if (value > current.value) {current.right = insertRecursive(current.right, value);} else {return current;}return current;}public boolean search(int value) {return searchRecursive(root, value);}private boolean searchRecursive(Node current, int value) {if (current == null) {return false;}if (value == current.value) {return true;}return value < current.value? searchRecursive(current.left, value): searchRecursive(current.right, value);}
}

首先来看一下插入操作的流程

参数value为待插入的元素值，current为当前树的根节点

首先，如果当前节点为空，说明已经到达了二叉排序树的叶子节点，此时可以直接创建新节点并返回。
否则，如果新值小于当前节点的值，则递归调用 insertRecursive 方法，将新值插入到当前节点的左子树中。
如果新值大于当前节点的值，则递归调用 insertRecursive 方法，将新值插入到当前节点的右子树中。
如果新值等于当前节点的值，则直接返回当前节点，

查找操作

首先，如果当前节点为空，说明已经搜索到了二叉排序树的叶子节点，此时可以返回 false。
否则，如果搜索的值等于当前节点的值，则返回 true。
否则，如果搜索的值小于当前节点的值，则递归调用 searchRecursive 方法，在当前节点的左子树中继续搜索。
否则，递归调用 searchRecursive 方法，在当前节点的右子树中继续搜索。

删除操作（重点）

public Node deleteNode(Node root, int key) {if (root == null) {return null;}if (key < root.value) {root.left = deleteNode(root.left, key);} else if (key > root.value) {root.right = deleteNode(root.right, key);} else {if (root.left == null) {return root.right;} else if (root.right == null) {return root.left;}root.value = minValue(root.right);root.right = deleteNode(root.right, root.value);}return root;
}

在这个例子中，我们定义了一个名为 deleteNode 的方法，它接受两个参数：根节点和要删除的结点的值。方法体内部实现了删除结点的逻辑。

这段代码的工作流程如下：

首先，如果根节点为空，则返回空。
如果要删除的结点的值小于根节点的值，则递归调用 deleteNode 方法，在根节点的左子树中继续查找要删除的结点。
如果要删除的结点的值大于根节点的值，则递归调用 deleteNode 方法，在根节点的右子树中继续查找要删除的结点。
如果要删除的结点的值等于根节点的值，则执行删除操作。
如果根节点没有左子树，则返回右子树。
如果根节点没有右子树，则返回左子树。
否则，找到右子树中最小的结点，并将这个结点的值赋值给根节点。然后递归调用 deleteNode 方法，在根节点的右子树中删除这个最小结点。

删除操作中用到了一个查找子树最小结点值的方法

private int minValue(Node node) {int minv = node.value;while (node.left != null) {minv = node.left.value;node = node.left;}return minv;
}

这段代码的工作流程如下：

首先，将最小值初始化为当前结点的值。

循环遍历当前结点的左子树，直到找到最小的结点。
返回最小的结点的值。

同样的，我们也可以实现查找二叉排序树的最大值的方法。这个方法的实现方式与查找最小值的方法类似，只是将最小值换成最大值即可。

最后，来看一下二叉排序树的应用案例

在数据库的索引中，二叉排序树可以用来快速查找数据。二叉排序树的查找时间复杂度为 O(log n)，要比顺序查找的时间复杂度 O(n) 快得多。
二叉排序树还常用于实现字典树（Trie）。字典树是一种树形数据结构，用来存储字符串集合。它的每个结点都包含一个字符，并且满足二叉排序树的性质：左子树的结点代表的字符都比根节点小，右子树的结点代表的字符都比根节点大。因此，我们可以使用二叉排序树来实现字典树。

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