算法简介：

装箱问题是一个NP完全问题，求解全局最优解有很多种方法：遗传算法、禁忌搜索算法、蚁群算法、模拟退火算法等等，本次使用模拟退火，它的优点是在参数合适的情况下基本上可以100%得到全局最优解，缺点是相较于其他算法，其稳定速度较慢。

如果你对退火的物理意义还是晕晕的，没关系我们还有更为简单的理解方式。想象一下如果我们现在有下面这样一个函数，现在想求函数的（全局）最优解。如果采用贪心策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。

可以看出模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以上图为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解B后，会以一定的概率接受向右继续移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达B 和C之间的峰点，于是就跳出了局部最小值B。

算法过程：

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变数,k为Boltzmann常数。Metropolis准则常表示为

Metropolis准则表明，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。所以P和T正相关。这条公式就表示：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（因为退火的过程是温度逐渐下降的过程），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。也就是说，在用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值 f，温度T演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火演算法：由初始解 i 和控制参数初值 t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或丢弃”的迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解。

总结起来就是：
若f( Y(i+1) ) <= f( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动；
若f( Y(i+1) ) > f( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）相当于上图中，从B移向BC之间的小波峰时，每次右移（即接受一个更糟糕值）的概率在逐渐降低。如果这个坡特别长，那么很有可能最终我们并不会翻过这个坡。如果它不太长，这很有可能会翻过它，这取决于衰减 t 值的设定。

举一个例子：

求函数f(x)=11*sin(6*x)+7*cos(5*x) , x∈[0,2*pi] 的最小值。

由函数图像可以看出存在很多极小值，要求全局最优可以采用模拟退火，具体代码如下：

//f(x)=11*sin(6*x)+7*cos(5*x),x∈[0,2*pi]，求最小值,真实最小值为-17.833
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <time.h>  #define pi 3.14159
#define num 30000 //迭代次数
double k = 0.01;
double r = 0.99; //用于控制降温的快慢
double T = 200; //系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态
double T_min = 2;//温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索  //返回指定范围内的随机浮点数  double rnd(double dbLow, double dbUpper)//产生（dbLow,dbUpper）之间的随机数
{double dbTemp = rand() / ((double)RAND_MAX + 1.0);return dbLow + dbTemp*(dbUpper - dbLow);
}double func(double x)//目标函数
{return 11 * sin(6 * x) + 7 * cos(5 * x);
}int main()
{double best = func(rnd(0.0, 2 * pi));double dE, current;int i;srand((unsigned)(time(NULL)));//用当前时间点初始化随机种子，防止每次运行的结果都相同while (T > T_min){for (i = 0; i < num; i++){current = func(rnd(0.0, 2 * pi));//产生新解dE = current - best;if (dE < 0) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动  best = current;else{// 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也越大  if (exp(-dE / (T*k)) > rnd(0.0, 1.0))//有一定概率接受较差解best = current;}}T = r * T;//降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快  }printf("最小值是 %f\n", best);return 0;
}

运行结果：

在程序运行5秒左右，结果可以看出模拟退火可以求出全局最优解。

模拟退火解决装箱问题：

几个需要修改的核心问题：

1、目标函数：因为需要箱子数目最小，所以设置为物理服务器的个数PsyPsNum。

2、构造初始解：利用贪心算法FF（对应于函数distribution(temp)）先进行一次装箱，得到物理服务器个数的解。

void distribution(FlavorS flavors[])
{PsyPsNum = FlavorSBox(flavors, totalPreNum, ECS.cpu, ECS.mem);
}int FlavorSBox(FlavorS goods[], int n, int cpu_num, int mem) //装箱问题贪心算法
{int num = 0;GNode *pg, *t;GBox *hbox = NULL, *pb, *qb;int i;for (i = 0; i < n; i++) /遍历虚拟机信息数组{pg = (GNode *)malloc(sizeof(GNode)); ///分配货物节点单元//pg->s = goods[i].s;pg->link = NULL; //货物节点初始化if (!hbox)       //若一个物理服务器都没有{hbox = (GBox *)malloc(sizeof(GBox));hbox->remainder = cpu_num; //物理服务器可以容纳的CPUhbox->mem = mem;         //物理服务器可以容纳的内存hbox->head = NULL;hbox->next = NULL;num++; //物理服务器数量加1hbox->box_no = num;}qb = pb = hbox; //都指向物理服务器头while (pb)        //找物理服务器{if (pb->remainder >= goods[i].cpu && pb->mem >= goods[i].mem) /能装下break;                                                   //找到箱子，跳出whileelse{qb = pb;pb = pb->next; //qb是前驱}} /遍历物理服务器结束if (pb == NULL) /需要新物理服务器{pb = (GBox *)malloc(sizeof(GBox)); //分配物理服务器pb->head = NULL;pb->next = NULL;pb->remainder = cpu_num;pb->mem = mem;qb->next = pb; //前驱指上num++;           //物理服务器数量加1pb->box_no = num;}if (!pb->head) //如果物理服务器里没货{pb->head = pg;t = pb->head;goods[i].PsId = pb->box_no; //将虚拟机与物理服务器编号关联起来//cout << goods[i].s << "装入" << goods[i].PsId << "物理服务器" << endl;}else{t = pb->head;while (t->link)t = t->link; //尾插t->link = pg;goods[i].PsId = pb->box_no; //将虚拟机与物理服务器编号关联起来//cout << goods[i].s << "装入" << goods[i].PsId << "物理服务器" << endl;}pb->remainder -= goods[i].cpu;pb->mem -= goods[i].mem;}return num;
}

3、产生新解：利用交换箱子间的排列顺序（对应于函数generateNew(50, temp)），贪心放入，得到新的结果。

//swapTimes表示交换次数，flavors表示需要交换的对象
void generateNew(int swapTimes, FlavorS flavors[])
{for (int i = 0; i < swapTimes; i++){int posx = rand() % totalPreNum;int posy = rand() % totalPreNum;swap(flavors[posx], flavors[posy]);}
}

4、注意每一次产生新解，不一定都要接受结果，所以选择复制一个flavors数组为temp数组，在temp中产生新解，只有选择接受新解才将temp的结果复制进flavors中，否则flavors数组不变。

模拟退火代码：

void SimulatedFire(FlavorS flavors[])
{int best = PsyPsNum;cout << "before fire:" << PsyPsNum << endl;const int LL = 300;double k = 0.1;double r = 0.97;   //用于控制降温的快慢double T = 300;         //系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态double T_min = 0.1; //温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索//返回指定范围内的随机浮点数int dE, current;srand((unsigned)(time(NULL)));FlavorS *temp = new FlavorS[totalPreNum];for (int i = 0; i < totalPreNum; i++){temp[i].s = flavors[i].s;temp[i].cpu = flavors[i].cpu;temp[i].mem = flavors[i].mem;temp[i].PsId = flavors[i].PsId;}while (T > T_min){for (int i = 0; i < LL; i++){generateNew(50, temp);distribution(temp);current = PsyPsNum;dE = current - best;if (dE <= 0) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动{best = current;for (int i = 0; i < totalPreNum; i++){flavors[i].s = temp[i].s;flavors[i].cpu = temp[i].cpu;flavors[i].mem = temp[i].mem;flavors[i].PsId = temp[i].PsId;}}   else{// 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也越大if (exp(-dE / (T * k)) > rnd(0.0, 1.0)){best = current;for (int i = 0; i < totalPreNum; i++){flavors[i].s = temp[i].s;flavors[i].cpu = temp[i].cpu;flavors[i].mem = temp[i].mem;flavors[i].PsId = temp[i].PsId;}}}}T = r * T; //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快}PsyPsNum = best;delete[] temp;cout << "after fire:" << PsyPsNum << endl;
}

当设置输入参数为：

模拟退火前后需要物理服务器个数结果为：

可以看到比贪心算法少使用了2个物理服务器就将所有的虚拟服务器装下了，虽然运行时间略久，但实现了装箱问题的最优解。

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