三分钟学会快速排序（图示讲解，附代码，通俗易懂）

tag：分治、排序

快速排序的通俗解释

1.从数组中选出一个元素xxx(可以随意选取)

2.把所有<=x<=x<=x的元素放在x前面（形成一个子区间），所有>=x>=x>=x大的元素放在xxx后面（形成另一个子区间）

3.使用递归的方法，对“2”中形成的两个子区间重复执行操作，最终可以得到一个排好序的数组

换句话说，快速排序就是递归的做这样一个事情：把一个区间划分为两个子区间，左区间全都<=<=<=标记数xxx，右区间全都>=>=>=标记数xxx。经过递归调用自身函数，最终得到排序好的数组。

通过下面的gif动图，可以更加形象的理解：

关于快排的递归问题及其分析，可以参考这篇博客：
对快速排序进行尾递归优化

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{if (l >= r)return;//区间里面只有一个数或者没有数int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;//选择中间数作为标记数while (i < j)//执行一次while语句，可以使一个区间划分为两个区间{do i++;while (q[i] < x);do j--;while (q[j] > x);if (i < j) swap(q[i], q[j]);}quick_sort(q, l, j);quick_sort(q,j+1,r);
}

对上述图示与代码的解释与模拟

假设有这样一个数组q

q=[5,4,3,1];

选取中间数4作为分割区间的标记数，在初始时，i，j对应的下标分别是-1和4，如下图所示：

经过一次do while语句之后，i，j分别对应0和3，指向数组第一个和最后一个元素。

为了使前一个区间全都小于标记值4，后一个区间全都大于标记值4，我们使i++，直到i对应的值大于或等于标记值4；使j–，直到j对应的值小于或等于值4，之后进行元素值的交换（swap语句）。

通过这一次while循环，可以使得原先数组的前一半部分全部小于或等于标记值4，后一部分全都大于或等于标记值4。

while (i < j)//每经过一次while循环{do i++;while (q[i] < x);do j--;while (q[j] > x);if (i < j) swap(q[i], q[j]);}

把5和1进行交换：

交换之后得到：

此时i = 0，j = 3，满足i < j，进入下一次while循环：

我们发现此时i指向4，j指向3，交换值，可以得到：

最终经过一次while循环，我们得到了基于标记值4的数组分割：即前面的数字都<=<=<= 4，后面的数字都 >=>=>= 4

最后递归的对这两个小区间进行快速排序，即：

quick_sort(q, l, j);
quick_sort(q,j+1,r);

算法复杂度分析

平均时间复杂度：O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

每进行一次【划分区间】操作，会递归调用处理一半大小的数列。因此，在递归结束前，我们要作O(log⁡n)O(\log n)O(logn)次嵌套的调用，即调用树的深度是O(log⁡n)O(\log n)O(logn)。程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)O(n)O(n)的时间。结果是这个算法仅需使用O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)时间。

最差时间复杂度：O(n2)O(n^{2})O(n2)

当数组已经排好序的情况下，快速排序退化为冒泡排序。

每一个区间划分成的两子区间分别含有111 和n−1n-1n−1个元素。第iii 次调用作了O(n−i)O(n-i)O(n−i)的工作量，且
∑i=0n(n−i)=O(n2)\sum _{i=0}^{n}(n-i)=O(n^{2}) i=0∑n(n−i)=O(n2)
递归关系式为：
T(n)=O(n)+T(1)+T(n−1)=O(n)+T(n−1)T(n)=O(n)+T(1)+T(n-1)=O(n)+T(n-1) T(n)=O(n)+T(1)+T(n−1)=O(n)+T(n−1)

这与插入排序与选择排序有相同的关系式，上式被解为T(n)=O(n2)T(n)=O(n^{2})T(n)=O(n2)。

c++代码

#include <vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;const int N = 100010;int n;
int q[N];void quick_sort(int q[], int l, int r)
{if (l >= r)return;//区间里面只有一个数或者没有数int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;while (i < j)//每经过一次while循环{do i++;while (q[i] < x);do j--;while (q[j] > x);if (i < j) swap(q[i], q[j]);}quick_sort(q, l, j);quick_sort(q,j+1,r);
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n;i++)cin >> q[i];quick_sort(q, 0, n - 1);for (int i = 0;i < n;i++)cout << q[i]<<" ";return 0;
}

运行截图