为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ?
按照下图的算法,似乎可以算出圆周率 等于4:
这个结论肯定是错误的,这篇文章就来仔细解释下。
1 周长和面积
确实,随着不断弯折,圆外多边形看上去越来越接近圆:
那为什么文章开头的结论是错误的呢?我们需要明白,在这个弯折过程中,圆外多边形的周长和面积发生了不同的改变:
圆外多边形的周长始终保持不变,并没有逼近圆的周长
圆外多边形的面积不断逼近圆的面积,所以看上去圆外的多边形看上去越来越接近圆
1.1 周长不变
将圆的右上角放大,可见外接正方形的边无论折成多少个阶梯,只要恰当地平移这些阶梯,就可以还原出之前的正方形(动图出处):
也就是说,在弯折过程中,圆外多边形的周长始终为4:
更代数一点,可用数列 来表示弯折过程中外面多边形的周长,很明显该数列的极限为:
这是一个常数数列,该数列的极限为4,这说明弯折过程中圆外多边形的周长是没有发生变化的。
1.2 面积逼近
一开始,外接正方形和圆形的面积大概相差4个直角三角形,也就是下图中蓝色的四个直角三角形。因为圆的直径为1,所以容易推出这四个直角三角形的面积之和为 ,也就是说外接正方形和圆形的面积大概相差 :
不断地弯折圆外多边形,可以算出这些直角三角形的和是在不断减小的,也就是圆外多边形和圆形的面积差在不断减小:
这说明圆外多边形的面积在不断逼近圆形的面积。
1.3 科赫雪花
综上,之所以得到错误的结论,是我们直觉上认为面积逼近的同时周长也会逼近。这个直觉是错误的,周长和面积并没有绝对的对应关系。来看一个更极端的例子,像下面动图一样,从边长为 的等边三角形开始,可以生成类似于雪花的图像,也称为科赫雪花:
可以证明,科赫雪花的面积的极限为 ,但周长的极限为无穷大,具体细节可以参考这里。
2 另外一个问题
下面来看一个类似的问题,这个问题可以帮助我们思考得更深一些。同样是直径为1的圆,在它的圆周上画满相切的圆:
如果交替地取这些圆在圆周内的部分和圆周外的部分,就构成了一条缠绕着圆周的连续曲线:
上图中的曲线是由8个圆组成的,当然可以用更多的相切圆来构造该曲线。随着相切圆的增加,该曲线的周长会持续缩小,但是到一定程度后周长就不再缩小了:
实际上,该曲线的周长会停留在该数值附近,并不会逼近圆的周长。背后到底是什么原因,使得曲线周长没有逼近圆的周长?
3 切线
在微积分中学习过,在一定的条件下, 点附近的曲线可以用切线来近似(这是《单变量微积分》中的内容):
3.1 曲线的长度
假如要计算曲线在 之间的长度,可以将把 切成 份,对应的曲线也被分成了 份:
因为切线是对曲线的近似,所以可用每个部分的切线段长度来近似每个部分的曲线段:
进一步细分 ,也就是让 变得更大,可以看到近似的效果会越来越好:
当 时,这些切线段的长度加起来就是曲线的长度。
3.2 错误的逼近
回头来看一下,之前的例子是用折线或者曲线去逼近圆形的周长:
而不是用圆形的切线去逼近圆形的周长,这就是得出错误结论的原因。
3.3 为什么是切线
那为什么圆形的切线才能去逼近圆形的周长呢?这个问题可能需要用整个《单变量微积分》课程来回答。这里就简单说一下重点,可以证明,曲线的切线和曲线之间相差一个 高阶 无穷小,也就是下图标注的 :
上述说法反过来也是成立的:
在计算圆形周长的例子中,用来近似圆形周长的折线、曲线,它们只和圆形相差了一个无穷小。这里不去深究具体的代数表达式,只需要知道,高阶 无穷小的意思就是比无穷小还要小。也就是说,圆形的切线是最接近圆形的,因为它们之间相差最小(高阶无穷小)。所以,必须用切线才能成功逼近。
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