读书笔记：收敛性 ← 随机过程

◆ 几乎必然收敛/以概率1收敛
P{lim⁡n→∞(Xn−X)=0}=1P\{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} (X_n-X)=0\}=1P{n→∞lim(Xn−X)=0}=1，记为Xn→a.s.XX_n\xrightarrow{a.s.}XXna.s.X

◆ 依概率收敛
lim⁡n→∞P{∣Xn−X∣≥ϵ}=0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P\{|X_n-X|\ge\epsilon\}=0n→∞limP{∣Xn−X∣≥ϵ}=0，记为Xn→PXX_n\xrightarrow{P}XXnPX

◆ ppp次平均收敛
lim⁡n→∞E(∣Xn−X∣p)=0\lim\limits_{n\rightarrow{\infty}}E(|X_n-X|^p)=0n→∞limE(∣Xn−X∣p)=0，记为Xn→LpXX_n\xrightarrow{L^p}XXnLpX
特别地，当p=2p=2p=2时，称为均方收敛，即
lim⁡n→∞E(∣Xn−X∣2)=0\lim\limits_{n\rightarrow{\infty}}E(|X_n-X|^2)=0n→∞limE(∣Xn−X∣2)=0，记为Xn→L2XX_n\xrightarrow{L^2}XXnL2X

◆依分布收敛
lim⁡n→∞Fn(x)=F(x)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}F_n(x)=F(x)n→∞limFn(x)=F(x)，记为Xn→LXX_n\xrightarrow{L}XXnLX
其中，Fn(x)F_n(x)Fn(x)为XnX_nXn的分布函数，F(x)F(x)F(x)为XXX的分布函数

随机过程中这四种收敛性的关系示意图如下所示：

本文的LaTeX代码如下：

◆ 几乎必然收敛/以概率1收敛
$P\{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} (X_n-X)=0\}=1$，记为$X_n\xrightarrow{a.s.}X$◆ 依概率收敛
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P\{|X_n-X|\ge\epsilon\}=0$，记为$X_n\xrightarrow{P}X$◆ $p$次平均收敛
$\lim\limits_{n\rightarrow{\infty}}E(|X_n-X|^p)=0$，记为$X_n\xrightarrow{L^p}X$
特别地，当$p=2$时，称为均方收敛，即
$\lim\limits_{n\rightarrow{\infty}}E(|X_n-X|^2)=0$，记为$X_n\xrightarrow{L^2}X$◆依分布收敛
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}F_n(x)=F(x)$，记为$X_n\xrightarrow{L}X$
其中，$F_n(x)$为$X_n$的分布函数，$F(x)$为$X$的分布函数

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