常数变易法思想的来源或本质是什么？https://www.zhihu.com/question/31329122
“常数变易法”有效的原理：https://blog.csdn.net/w573719227/article/details/83050039
常数变易法的解释https://www.cnblogs.com/lookof/archive/2009/01/06/1370065.html

文章目录

一、简介
二、常数变易法的由来
- 1、一阶非齐次线性微分方程的正常求解
- 2、一阶非齐次线性微分方程的常数变易法求解
三、小结

一、简介

百度百科中关于常数变易法有这么一句话

常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。

我们使用的常数变易法是拉格朗日大佬（1736~1813）11年的研究成果，怎么来的，拉格朗日大佬好像没有笔记存留，常数变易法的思路可能是后人逆推出来的。

笔者是在学习微分方程的时候，对“一阶非齐次线性微分方程解的结构”中所使用的常数变易法存在些许疑问，一路追查，读了上面的文章，才大致搞清楚常数变易法的来历。下面从一阶非齐次线性微分方程的求解出发，慢慢将常数变易法给呈现出来。

二、常数变易法的由来

1、一阶非齐次线性微分方程的正常求解

这一小节的目的是在不使用所谓的“常数变易法”的情况下，求解一阶非齐次线性微分方程。

首先，什么是一阶非齐次线性微分方程，什么是一阶齐次线性微分方程？齐次求解起来比较简单，我们可以先从齐次入手，然后寻找规律，最后搞定非齐次。

好，对于一阶齐次线性微分方程，我们已经求解出来了。求解微分方程，最重要的就是分离变量，分离变量之后进行积分，即可求解成功。所以难点就是分离变量。

至此，在没有使用所谓的“常数变易法”的情况下，求解出了一阶非齐次线性微分方程的通解。

2、一阶非齐次线性微分方程的常数变易法求解

下面在看一下常数变易法的求解步骤。

这就是常数变易法的根本所在。

三、小结

常数变易法并不是凭空出现的，它也是有根有据的，只不过在教科书上表现的十分突兀和莫名其妙。“常数变易”的含义取自，将齐次方程通解中的常数C易变为待定函数C(x)。

下面引用博客园lookof前辈的两个感慨：
1.常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势（因为就是一个思路的正逆推导而已），但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。因此倒不能说常数变易法是鸡肋（我开始的想法就是这样的）。
2.教科书上最后把方程的解拆成了一个齐次方程的通解和一个非齐次方程的特解之和，我看来简直有点脑残的表现，再往后看才知道，原来在解决高阶非齐次线性方程是要用到这个结构的，怪不得。

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