2019.11.2图论专题（AtCoder Splatter Painting、President and Roads、Shortest Cycle、ISlands II）

D：AtCoder Grand Contest 012 Splatter Painting

题目描述

Squid喜欢在图中为一些顶点染色(毕竟是鱿鱼 )

现在有一张由 N 个顶点和 M 条边组成的简单无向图，其中顶点编号为1到 N。我们用数字来编号各种颜
色。
一开始，所有的顶点都会被染成颜色0 。第 i 条双向边连接着两个端点a[i] 和 b[i]。每条边的长度都是单位1。

Squid 会在这张图上进行Q 次操作。其中对于第 i次操作，他(它？？？)会将与顶点 v[i] 相距 d[i] (包括v[i] )的所有点重新染色成颜色c[i].

请问 Q 次操作后，每个顶点的颜色各是什么。

输入格式

N M
a₁ b₁
:
a_M b_M
Q
v₁ d₁ c₁
:
v_Q d_Q c_Q

输出格式

答案一共 N 行。在第 i 行中，在Q 操作之后输出顶点 i 的颜色。

因为已染色的点不再重复染色，所以从第 Q 次操作往前模拟，每次操作如果找到的点已被染色就不再重复染，并考虑若已经处理过从v点出发而d更大的染色操作，则这一次操作必定无效，可以return掉。

code：

#include <bits/stdc++.h>
#define sc(x) scanf("%d", &x)
#define pr(x) printf("%d\n", x)
#define lowbit(x) (x & -x)
#define ll long long
#define N 100010
using namespace std;
int n, m, col[N], tot = 0, head[N], maxx[N], q;
struct Xiao
{int next, to;
}e[N * 2];
struct Wang
{int v, d, c;
}qvq[N];
inline void add(int x, int y)
{e[++tot].next = head[x];e[tot].to = y;head[x] = tot;
}
inline void dfs(int d, int sc, int x, int fa)
{if (d <= maxx[x]) return;maxx[x] = d;if (col[x] == 0) col[x] = sc;for (int i = head[x]; i; i = e[i].next){int y = e[i].to;if (y == fa) continue;dfs(d - 1, sc, y, x);}
}
int main()
{sc(n);sc(m);for (int i = 1; i <= m; i++){int a, b;sc(a);sc(b);add(a, b);add(b, a);}sc(q);for (int i = 1; i <= q; i++){sc(qvq[i].v);sc(qvq[i].d);sc(qvq[i].c);}memset(maxx, -1, sizeof maxx);for (int i = q; i >= 1; i--)dfs(qvq[i].d, qvq[i].c, qvq[i].v, 0);for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d\n", col[i]);return 0;
}

E：codeforces 567 E President and Roads

题目大意

有 n 个点，m 条边，询问每一条边是否在 S —T 最短路上，如果一定在最短路上，输出 YES ；如果边权减去 x 后一定在最短路上，则输出 CAN x，（边权不能变成非正数）；如果一定无法在最短路上则输出NO

输入格式

第一行给四个数 n, m, S, T 接下来 m 行每行 a, b, l表示 a 和 b 之间有一个长为 l 的边

输出格式

m 行，第 i 行为第 i 条边的情况

dijkstra + tarjan判割边

从起点终点分别出发做一遍最短路，判断一下每一条边是否在最短路上，重新构图，判割边

枚举每一条边，如果为割边，直接输出YES

否则，如果是在最短路上，且边长>1,输出CAN 1

若边长<=1,输出NO

如果不是在最短路上，就让这条边减小，使它在最短路上，如果边权能为正数，输出CAN x，否则输出NO

code

#include <bits/stdc++.h>
#define sc(x) scanf("%d", &x)
#define pr(x) printf("%d\n", x)
#define lowbit(x) (x & -x)
#define ll long long
#define N 200010
using namespace std;
int tot = 0, tott = 0, head[N][3], vis[N], dfn[N], low[N], n, m, s, t;
int num = 0, p[N];
ll d[2][N];
bool br[N];
struct Xiao
{int next, to, w;
}e[2][N * 2];
struct Wang
{int x, y, z;
}er[N];
inline void add1(int x, int y, int z)
{e[0][++tot].next = head[x][0];e[0][tot].to = y;e[0][tot].w = z;head[x][0] = tot;
}
inline void add2(int x, int y, int z)
{e[1][++tott].next = head[x][1];e[1][tott].to = y;e[1][tott].w = z;head[x][1] = tott;
}
inline void dijkstra(int k)
{priority_queue < pair <ll, int> > q;while (q.size()) q.pop();memset(d[k], 0x3f, sizeof d[k]);memset(vis, 0, sizeof vis);if (k == 0) {d[0][s] = 0;q.push(make_pair(0, s));}else{d[1][t] = 0;q.push(make_pair(0, t));}while (q.size()){int x = q.top().second;q.pop();vis[x] = 1;for (int i = head[x][k]; i; i = e[k][i].next){int y = e[k][i].to;int z = e[k][i].w;if (vis[y]) continue;if (d[k][y] > d[k][x] + z){d[k][y] = d[k][x] + z;q.push(make_pair(-d[k][y], y));}}}
}
inline void tarjan(int x, int eg)
{dfn[x] = low[x] = ++num;for (int i = head[x][0]; i; i = e[0][i].next){int y = e[0][i].to;if (!dfn[y]){tarjan(y, i);low[x] = min(low[x], low[y]);if (low[y] > dfn[x]) br[i] = br[i ^ 1] = true;}else{if (i != (eg ^ 1)) low[x] = min(low[x], dfn[y]);}}
}
int main()
{sc(n);sc(m);sc(s);sc(t);for (int i = 1; i <= m; i++){int x, y, z;sc(x);sc(y);sc(z);er[i].x = x;er[i].y = y;er[i].z = z;add1(x, y, z);add2(y, x, z);}dijkstra(0);dijkstra(1);tot = 1;memset(head, 0, sizeof head);for (int i = 1; i <= m; i++){if (d[0][er[i].x] + d[1][er[i].y] + er[i].z == d[1][s]){add1(er[i].x, er[i].y, er[i].z);add1(er[i].y, er[i].x, er[i].z);p[i] = tot;}}memset(br, false, sizeof br);memset(dfn, 0, sizeof dfn);for (int i = 1; i <= n; i++)if (!dfn[i]) tarjan(i, 0);for (int i = 1; i <= m; i++){if (br[p[i]]) printf("YES\n");else{if (d[0][er[i].x] + d[1][er[i].y] + er[i].z == d[1][s]){if (er[i].z > 1) printf("CAN 1\n");else printf("NO\n");}else{ll dis = d[0][t] - d[0][er[i].x] - d[1][er[i].y] - 1;if (dis <= 0) printf("NO\n");else printf("CAN %lld\n", er[i].z - dis);}}}return 0;
}

F：codeforces 1205 B Shortest Cycle

已知 n 个整数a₁, a₂,…,a_n 。考虑为图上的 n个节点，其中 i,j (i != j )相互连接仅当a_i & a_j != 0 时，其中& 表示按位与运算。

求出这个图中最短环的长度，如果没有环，输出-1 。

由数据范围可以知道，a_i的二进制最多有64位，那么根据鸽巢原理，如果有>128个数不为0，那么必定有三个数与运算后不等于0，直接输出3

否则建图，用Floyd求最小环

code

#include <bits/stdc++.h>
#define sc(x) scanf("%d", &x)
#define pr(x) printf("%d\n", x)
#define lowbit(x) (x & -x)
#define ll long long
#define N 100010
#define memset(x) memset(x, 0, sizeof(x))
using namespace std;
int minn, cnt, dis[250][250], mp[250][250], n;
ll a[N];
int inf = 1e8 + 10;
inline void build()
{for (int i = 1; i <= cnt; i++)for (int j = 1; j <= cnt; j++)if (i != j) mp[i][j] = dis[i][j] = inf;for (int i = 1; i <= cnt; i++)for (int j = i + 1; j <= cnt; j++)if (a[i] & a[j]) mp[i][j] = mp[j][i] = dis[i][j] = dis[j][i] = 1;
}
inline void floyd()
{minn = inf;for (int k = 1; k <= cnt; k++){for (int i = 1; i < k; i++)for (int j = i + 1; j < k; j++)minn = min(minn, dis[i][j] + mp[i][k] + mp[k][j]);//更新k点之前枚举ij求经过ijk的最小环for (int i = 1; i <= cnt; i++)for (int j = 1; j <= cnt; j++)dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);//更新k点}
}
int main()
{sc(n);cnt = 0;ll x;for (int i = 1; i <= n; i++){scanf("%lld", &x);if (x != 0) a[++cnt] = x;}if (cnt >= 130) printf("3\n");else{build();floyd();if (minn > n) puts("-1");else printf("%d\n", minn);}return 0;
}

G：codeforces gym 101257 F ISlands II

给出一个n*m的地图，上面相同数字的代表一个国家，问对于每个国家有多少个国家在它内部（即被包围）。例如第一个样例，1包围2，2包围3，所以1包围2和3,2包围3。

对于每一个点，如果它下面的那个点和右边的点与它颜色不同，就以颜色为节点连边，在最外面再加一圈0

如果一个点为割点，它的子树中的节点一定在它内部

code

#include <bits/stdc++.h>
#define sc(x) scanf("%d", &x)
#define pr(x) printf("%d\n", x)
#define lowbit(x) (x & -x)
#define ll long long
#define N 1000010
using namespace std;
int tot = 0, head[N], size[N], low[N], dfn[N], n, m;
int v[N], ans[N], cnt = 0, num = 0, a[1010][1010], v1[N];
struct Xiao
{int next, to;
}e[N * 8];
inline void add(int x, int y)
{e[++tot].next = head[x];e[tot].to = y;head[x] = tot;
}
inline void dfs(int x)
{size[x] = 1;if (x > cnt) cnt = x;v[x] = 1;for (int i = head[x]; i >= 0; i = e[i].next){int y = e[i].to;if (v[y]) continue;dfs(y);size[x] += size[y];}
}
inline void tarjan(int x, int fa)
{dfn[x] = low[x] = ++num;v1[x] = 1;for (int i = head[x]; i >= 0; i = e[i].next){int y = e[i].to;if (y == fa) continue;if (!dfn[y]){tarjan(y, x);low[x] = min(low[x], low[y]);if (low[y] >= dfn[x]) ans[x] += size[y];}else if (v1[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);}
}
int main()
{sc(n);sc(m);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)sc(a[i][j]);memset(head, -1, sizeof head);for (int i = 0; i <= n; i++)for (int j = 0; j <= m; j++){if (a[i][j] != a[i + 1][j]) add(a[i][j], a[i + 1][j]), add(a[i + 1][j], a[i][j]);if (a[i][j] != a[i][j + 1]) add(a[i][j], a[i][j + 1]), add(a[i][j + 1], a[i][j]);}dfs(0);tarjan(0, -1);for (int i = 1; i <= cnt; i++)printf("%d ", ans[i]);return 0;
}