长公共子序列（longest common sequence）
最长公共子串（longest common substring）
子序列：一个给定的序列的子序列，将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。（不要求连续）
子串：给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。（必须连续）

字符序列： {a,b,c,d,e,f,g,h}，它的子序列： {a,c,e,f}
即元素b,d,g,h被去掉后，保持原有的元素序列所得到的结果就是子序列。同理，{a,h},{c,d,e}等都是它的子序列。
它的字串：{c,d,e,f} 即连续元素c,d,e,f组成的串是给定序列的字串。同理，{a,b,c,d},{g,h}等都是它的字串。

给定序列s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}，
s1和s2的相同子序列，且该子序列的长度最长，即是LCS。 s1和s2的其中一个最长公共子序列是 {3,4,6,7,8}

2.动态规划

求解LCS问题，不能使用暴力搜索方法。一个长度为n的序列拥有 2的n次方个子序列，它的时间复杂度是指数阶，太恐怖了。解决LCS问题，需要借助动态规划的思想。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。
````若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够==保存==已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。`不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。

3.特征分析

   解决LCS问题，需要把原问题分解成若干个子问题，所以需要刻画LCS的特征。设A=“a0，a1，…，am”，B=“b0，b1，…，bn”，且Z=“z0，z1，…，zk”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：如果am=bn，则zk=am=bn，且“z0，z1，…，z(k-1)”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列；如果am!=bn，则若zk!=am，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，bn”的一个最长公共子序列；如果am!=bn，则若zk!=bn，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，am”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列。有些同学，一看性质就容易晕菜，所以我给出一个图来让这些同学理解一下：

S1={1,3,4,5,6,7,7,8}
S2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}
1---------------------------------------------------------------------------------
假如S1的最后一个元素与 S2的最后一个元素相等，那么S1和S2的LCS就等于
{S1减去最后一个元素} 与 {S2减去最后一个元素} 的 LCS +S1和S2相等的最后一个元素。
2---------------------------------------------------------------------------------
假如S1的最后一个元素与 S2的最后一个元素不等（本例子就是属于这种情况），那么S1和S2的LCS就等于：
max{S1减去最后一个元素} 与 S2 的LCS， {S2减去最后一个元素} 与 S1 的LCS }。

####4.递归公式
第3节说了LCS的特征，我们可以发现，假设我需要求 a1 … am 和 b1 … b(n-1)的LCS 和 a1 … a(m-1) 和 b1 … bn的LCS，一定会]递归地并且重复地把如a1… a(m-1) 与 b1 … b(n-1) 的 LCS 计算几次。所以我们需要一个数据结构来记录中间结果，避免重复计算。

假设我们用

c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的长度

（直接保存最长公共子序列的中间结果不现实，需要先借助LCS的长度）。

X = {x1 … xm}，
Y={y1…yn}，
Xi = {x1 … xi}，
Yj={y1… yj}。可得递归公式如下：

5.计算LCS的长度
以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}为例

图中的空白格子需要填上相应的数字（这个数字就是c[i,j]的定义，记录的LCS的长度值）。填的规则依据递归公式，简单来说：如果横竖（i,j）对应的两个元素相等，该格子的值

= c[i-1,j-1] + 1。如果不等，取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化该表：

      然后，一行一行地从上往下填：

      S1的元素3 与 S2的元素3 相等，所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。继续填充：

在这里插入图片描述S1的元素3 与 S2的元素5 不等，c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1])，图中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色为浅黄色。

        继续填充：

…
中间几行填写规则不变，直接跳到最后一行：
至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。

6.构造LCS

本文S1和S2的最LCS并不是只有1个，本文并不是着重讲输出两个序列的所有LCS，只是介绍如何通过上表，输出其中一个LCS。
我们根据递归公式构建了上表，我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。

   c[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，c[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为c[8][8] > c[7][9])。c[8][8] = 5,  且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，c[8][8]的值来源于 c[7][7]。以此类推，如果遇到

S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1]

   这种存在分支的情况，这里请都选择一个方向（之后遇到这样的情况，也选择相同的方向）

第一种结果为：

      这就是倒推回去的路径，棕色方格为相等元素，即LCS = {3,4,6,7,8}，这是其中一个结果。如果如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，选择另一个方向，会得到另一个结果。

即LCS ={3,5,7,7,8}。

7.关于时间复杂度

构建c[i][j]表需要Θ(mn)，输出1个LCS的序列需要Θ(m+n)。
参考
https://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.control

动态规划最长公共子序列过程图解相关推荐

详解动态规划最长公共子序列--JavaScript实现
前面两篇我们讲解了01背包问题和最少硬币找零问题.这篇将介绍另一个经典的动态规划问题--最长公共子序列.如果没看过前两篇,可点击下面链接. 详解动态规划最少硬币找零问题--JavaScript实现详 ...
最长公共子序列php,动态规划(最长公共子序列LCS)
概念求解决策过程最优化的结果 (可能有多个) 把多阶段过程转化为一系列单阶段过程,利用各阶段之间的关系,逐个求解计算过程中会把结果都记录下,最终结果在记录中找到. 举例求两个字符串的最长公共子序 ...
动态规划—最长公共子序列问题 HDU-1159 Common Subsequence
动态规划-最长公共子序列问题 Common Subsequence [ HDU - 1159 ] A subsequence of a given sequence is the given sequ ...
动态规划1--最长公共子序列
动态规划1--最长公共子序列一.动态规划经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题,而会分解出一系列的子问题.简单地采用把大问题分解成子问题,并综合子问题的解导出大问题的解的方法,问题求解耗时 ...
最长公共子序列动态规划c语言,动态规划----最长公共子序列（C++实现）
最长公共子序列题目描述:给定两个字符串s1 s2 - sn和t1 t2 - tm .求出这两个字符串的最长公共子序列的长度.字符串s1 s2 - sn的子序列指可以表示为 - { i1 < i ...
算法导论之动态规划(最长公共子序列和最优二叉查找树)
动态规划师通过组合子问题的解而解决整个问题,将问题划分成子问题,递归地求解各子问题,然后合并子问题的解而得到原问题的解.和分治算法思想一致,不同的是分治算法适合独立的子问题,而对于非独立的子问题,即各 ...
【啃不完的算法导论】- 动态规划 - 最长公共子序列（概念篇）
以下内容纯是为了熟悉<算法导论>中的内容,高手可略过,其中涉及的书本内容的版权归原作者.译者.出版社所有 ========================================= ...
动态规划-最长公共子序列-最长递增子序列-最大递增子序列和-miking time
1. 最长公共子序列假设 X 和 Y 的序列如下: X[1...m] = {A, B, C, B, D, A, B} Y[1...n] = {B, D, C, A, B, A} 可以看出,X 和 Y ...
算法设计-动态规划——最长公共子序列
算法介绍动态规划: 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题.在这类问题中,可能会有许多可行解.每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解.动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待 ...

动态规划最长公共子序列过程图解

…
中间几行填写规则不变，直接跳到最后一行：
至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。

动态规划最长公共子序列过程图解相关推荐

最新文章

热门文章

动态规划 最长公共子序列 过程图解

… 中间几行填写规则不变，直接跳到最后一行： 至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。

动态规划 最长公共子序列 过程图解相关推荐

最新文章

热门文章

动态规划最长公共子序列过程图解

…
中间几行填写规则不变，直接跳到最后一行：
至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。

动态规划最长公共子序列过程图解相关推荐